Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Двойна неразделна в полярни координати

Лекция 5. Промяна на променливи в множество интеграли. Jacobian и геометрична значение. Polar, цилиндрични и сферични координати в двойни и тройни интеграли. Повърхностната площ и изчисляване

Приложения на множество интеграли

На две приложения, споменати по-горе, когато въпросът за геометричния смисъл на двоен интеграл (обемът на цилиндричното тяло) и механичен смисъл тройна неразделна (телесно тегло). Ние даваме повече за някое друго приложение.

1. Масата на плоска плоча плътност в точка Тя се изчислява по формулата

2. Площта на плосък площ Тя може да бъде изчислена по формулата

3. Обемът на тялото Можете да се изчисли троен интеграл

Малко по-късно той ще се обърне внимание на концепцията за района на произволна повърхност. Ще бъде показано, че ако повърхността Тя се дава с уравнението площта може да бъде изчислена по формулата

Пример 5 (Кузнецов LA Модел изчисления). рекорд дал си ограничаващи криви -poverhnostnaya плътност. Намери записи маса.

Solution. Ние се изчисли теглото на формата на плоча

муле Ние се въведе полярна координатна система: Като се има

акаунт формула (4) за запис на двоен интеграл в полярни координати, ние имаме

Пример 6 (LA Кузнецов Модел изчисления). Намерете обема на тялото, като се има очертаващ

неговите проводими повърхности

Solution. Ние се изчисли обема на тялото тройна интеграция: Проекцията на тялото на самолета е площта с граница описан от уравнения Ние организираме в ограничения за и в многократни интеграли, предварително изчисляване на точката пресечните криви и използване на процедурата описана по-рано. След това, чрез произволна точка провеждане на лъч ос в посока Тя пресича долната граница на зоната в точка и горната граница на този регион - в точка , Така че, на дъното неразделна граница в ще и горната граница за ще резултатът

По-горе споменахме, че някои двойни интеграли удобно изчислява в полярни координати. За разлика от декартови координати са полярни координати криволинейна. Ние сега се опишат криволинейни координати на общата форма.

1. Криволинеен координати на самолета

Нека равнината дадена област и в самолет някои зона

Определение 1. Ние казваме, че функцията

попитайте 12:59 кореспонденция област в региона ако всяка точка Тя съответства на една точка и две различни точки на района съответстват на две различни точки на областта според закона (1).

Очевидно в този случай е налице обратната картографиране Като се има предвид, като някои от функциите Ако (1) определя една еднозначна позицията на всяка точка фиксира своите декартови координати или двойка номера така че



Определение 2. Двойка Просто opisannyhchisel нарича криволинейни координати на точката и криви

линии наречени координатни точки

По този начин, в можете да зададете двете координатни системи: 1) с правоъгълна Декартова координатна система, определени от мрежа от взаимно перпендикулярни линии и криволинейна координатна система определя от мрежа координира линии и

Определение 3. детерминанта Той нарече Jacobian на картирането (1) или на Jacobian на прехода от Декартова координира с криволинейна.

Може да бъде показано, че равно на изкривяването на коефициента пространство (геометричен смисъл на Jacobian) Т.е. ако малка правоъгълна област с един от върховете и ребра и извитата част на четиристранни, че е образ на този правоъгълник под картата (1), Използването на този факт, можем да докажем следното твърдение.

Теорема 1. Равенството

ако са изпълнени следните условия:

1) функция е непрекъсната в затворен ограничената област

2) функции непрекъснато диференцируема в и с една зона към един дисплей в региона

3) на Jacobian

Да разгледаме функцията Тези функции ще бъдат vzamno odnoz-

Започнете променлива дисплей самолет в различна равнина Ако ние сме съгласни, че точката преминава само до точката криволинейни координати в този случай се нарича обобщените полярни координати и в случая на полярни координати в равнината-месечие Ние изчисляваме Jacobian на преход за тези координати. имаме

От Теорема 1 следва, че двойно интеграл в общи полярни координати е:

при получаваме формула

за двойна неразделна в полярни координати. По-горе област, която, когато се показва пристъпи към

Пример 1 ((LA Кузнецов Модел изчисления.) Записът даден на неравенството , повърхностна плътност. Намери записи маса.

Solution. Ние се въведат общи полярни координати

Така елипси отидат в пряка и съответно, и линията да лъч The Jacobian на прехода ще бъде: следователно

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| Двойна неразделна в полярни координати

; Дата: 03.01.2014; ; Прегледи: 1137; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



zdes-stroika.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.24
Page генерирана за: 0.051 сек.