Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Функции на много променливи




Лекция 16.

ПЛАН

1. Въведение.

2. Функцията на две променливи. методи за присвояване. определени области.

3. функция нарастване: частна и пълна.

4. Приемственост.

5. частични производни от първи ред

6. Диференциална

7. Заключение.

16.1. въведение

Много малко процеси зависят от една променлива. Животът е многостранен и зависи от много фактори. Например, областта на правоъгълник S е функция на х ширина и дължина Y, обем успоредник V - х ширина, дължина и височина Y и Z т.н. В първия случай имаме работа с функцията на две променливи, а вторият - три променливи. Лесно е да се даде примери за при определяне на броя на фактори ще включва четири или повече променливи. Функцията на една променлива ние достатъчно проучен, ние сега се обръщат към функция на две променливи.

16.2. Функция на две променливи. методи задача.
определени области

Определяне 16.1. Ако всяка двойка (X, Y) стойности на две взаимно независими променливи х и у в определен регион на вариация им D е конкретната стойност на Z, тогава казваме, че Z е функция на х и у в D.

Символично, функция на две променливи се обозначава както следва:

,

Като функция на една променлива, тя може да се определи аналитично, графично и в таблична форма. Преминаването от един режим на друга работа се извършва от същите правила като за функцията на една променлива.

Нека функцията определя по формулата , Съставете за нея таблица на стойностите на първия ред, който ще бъде стойността на х, и в първата колона - стойностите на у. Ние избираме произволни стойности за х и у, и Z е получена в съответствие с предварително определен правило.

Ч Ш 0.1 0.2 0.3 0.4
0.2 0.4 0.6 0.8
1.2 1.4 1.6 1.8
2.2 2.4 2.6 2.8
3.2 3.4 3.6 3.8
4.2 4.4 4.6 4.8

За да се построи графиката на тази функция е необходимо, от всяка точка M (X, Y) самолет Hoy повиши перпендикулярна Z, и след това се комбинират получената Z-точката. Имайте предвид, че графичното представяне на функция на две променливи в триизмерната Декартова основа обикновено представлява определена повърхност. В глава 8, ние показахме, че изграждането на "точка по точка" линия страда близост и дори погрешно, защото не може да се вземат предвид тези важни точки, като прекъсвания, крайности, и т.н. Следователно, ако е необходимо да се парцел повърхността реши въпроса по общ начин, за да се определи вида, и след това се прехвърлят към сградата.

Ако една равнина е най-простият и най-проучен линия - това е пряк, най-прост повърхност в космоса - това е самолет, чиято уравнение обикновено се изписва така:



, (16.1)

Разделяне двете страни от D, Получаване еквивалент уравнение

(16.2)

където , , Тя се нарича уравнение на равнината "на парчета."

При получаване на уравнението (16.2), че е лесно да представлява равнината в декартовата координатна система. Намерете точката на пресичане с координатните оси: по оста х: , , С оста OY: , И с Оз на ос: , , Свържете точките, получени от тях продължава във всички посоки, и да получите равнина изображение.

В нашия случай, , , , , Ние изграждаме този самолет от точки

Фиг. 16.1

В "аналитичната геометрия", ние също учи кривите втори ред - кръг, елипса, парабола и хипербола. В триизмерното пространство, те се местят в сферата, елипсоид, hyperboloid (пороен и две пороен) и параболоид. В частта на тялото равнини, успоредни на координатната равнини, получени всички същия кръг, елипса и т.н. Но това не е краят. Характеристики, избухват в триизмерното пространство, създават елиптична hyperboloid, хиперболичен параболоид, конична и цилиндрични повърхности. Списък на втори ред повърхности и техните графики са дадени в Приложение 1. Погледнете в техните уравнения и да се опита да разбере логиката на имената им.

Както в случая на една променлива X и Y, функцията на две променливи не съществува за всички стойности.

Определяне 16.2. Двойките съвкупната стойност (х, у), при които функцията се определя от Тя се нарича домейн или домейн на съществуване на тази функция.

Домейнът на определение е ясно показано геометрично като набор от точки, принадлежащи Hoy самолет. Тя се нарича областта на дефиниция на функцията. В бъдеще ние ще разгледаме зоната, ограничена от някои линии. Тези линии се наричат границите на областта. Точките не лежат на границата, наречена вътрешните точки на домейна. Районът се състои само от вътрешни точки се нарича открита или отворена. Ако сте в района и гранични пунктове, той се нарича затворена. Районът се нарича ограничена, ако съществува положително число C такава, че разстоянието от всяка една точка равнина от О произход (0,0) е по-малко от С, т.е. ,

Пример 16.1. Намерете областта на функцията ,

Solution. До Я имаше реална стойност, трябва да се корен стоеше под която не е отрицателно число, т.е. х и у, трябва да отговарят на неравенството

или ,

Всички точки, които отговарят на това неравенство лъжа в кръг с радиус 1 центриран в основата и на границата на кръга (фиг. 16.2).

Фиг. Фигура 16.2. 16.3

Пример 16.2. Намерете областта на функцията ,

решение Тъй като логаритми са определени само за положителните числа, тогава неравенството или , Той е обект на точки, лежащи над линията Не се включва много права линия (фиг. 16.3).

По същия начин влезе дефиницията на функцията на три, четири или повече променливи и региона на възможните стойности. По този начин, за функция от три променливи домейн може да служи като триизмерно тяло, ограничено или неограничено. За функцията на четири променливи като геометрична интерпретация вече не съществува. Като цяло, функцията на N променливи се записва, както следва: и обхвата на неговата дефиниция е в съответствие с общите правила.

16.3. Увеличаване на функция: частна и пълно

Да разгледаме функцията Определя се в регион, D Hoy самолет. Тъй като X и Y са независими променливи, те могат да се получат нарастването независимо. В зависимост от получените увеличените нараствания ще се различават една от друга.

Например, ако променливата X се увеличава и става , А променливата остава постоянна, нарастването на функцията

(16.3)

наречен частен функция повишава променливото х, и е обозначен ,

Ако увеличените функция само променливата Y и X остава постоянна, тя се нарича частни повишава променливото Y, и е означен

, (16.4)

Пълен нарастване на функцията, свързана с нарастване на двете аргументи, се определя по формулата

, (16.5)

Ще равенство Т.е. Тя е дали общият сбор от частни стъпки увеличение функция? Помислете за този пример.

Пример 16.3. Намери пълна и частична нарастване на функцията от точка M (1, 2) в точката K (1,2; 2,3), ако ,

Solution. Стъпки за аргументи, като разликата между стойностите на началните и крайните точки: и , Ние намираме всичко на нарастване от (16.3 - 5):

;

;

,

Вижда се, че Т.е. общото увеличение на функцията обикновено не е равна на сумата от неговите частични стъпки.

Концепцията за увеличение функция е тясно свързана с концепцията за граница на функция в точка. В глава 9, ние се счита за граница на функции на една променлива, и каза, че броят на А се нарича граница на функцията в точка Ако за даден номер има Че всички стойности на падането на функцията Y в права линия г-квартал Веднага е аргумент попада в електронна квартал на точката , Логично е да се предположи, че лимитът на функция на две променливи ще бъдат въведени, както и, но в е-квартала на точката не се разбира интервала ( А набор от точки, които отговарят на условието и лежи в рамките на окръжност с радиус с център точка ,

Определение 16.3. The номер е границата на функцията като точка M до точката Ако за номер има редица Това за всички точки на кръга неравенството Или в символична форма:

,

Определяне 16.4. функция Той казва, че е непрекъсната в точката Ако се установи, в този момент, и има пределната стойност на функцията в тази точка, т.е. , Претендира да посоча произволно.

определението е на езика на увеличените както следва:

Определение 16.5. функция Той казва, че е непрекъсната в точката ако нараствания безкрайно аргументи Тя съответства на една безкрайно малка увеличение функция Т.е.

,

или

,

Ако поне едно от изискванията на тези определения не притежават - функция се нарича прекъсната в точката под внимание, обаче, класификацията на тези фрактури е по-трудно, отколкото за функцията на една променлива.

Свойства на непрекъснатост на един-единствен аргумент, за да преминат към функцията на две или повече променливи:

1. Ако функцията дефинирана и непрекъсната в затворена и ограничена домейн D, след това в рамките на този регион има най-малко една точка, при която функцията ще достигне своя максимум М и най-малката стойност на m (теоремата на максимални и минимални стойности).

2. Ако функцията дефинирана и непрекъсната в затворена и ограничена домейн D и ако М и т е неговите максимални и минимални стойности, за всеки има точка , Чиято стойност е равна на (Теорема Междинно стойност).

3. Ако функцията дефинирана и непрекъсната в затворена и ограничена домейн D и получава както положителни, така и отрицателни стойности, а след това в рамките на този регион има най-малко една точка от тази, в която функцията ще бъде нула (за функциите на корените на теоремата).

16.4. Частичните производни от първи ред

В предишния раздел ние открихме, че функцията на две променливи има различни специални добавки. Очевидно е, че производните на определяне на степента на промяна в различна функция аргументи ще се различават една от друга.

Определение 16.6. Частичните производни по отношение на X на функцията Тя се нарича граница на съотношението на частните стъпки към нарастване последният клони към нула.

Частичното производна по отношение на х е означен със символ

, , ,

съгласно определението

, (16.6)

Определение 16.7. Частични производни на функция ш на Тя се нарича граница на съотношението на частните стъпки към нарастване последният клони към нула.

Частичното производно по отношение на Y е означен със символа

, , , ,

съгласно определението

, (16.7)

От тези определения веднага следва правилото, че трябва да се изчисли частично производно.

Правило изчисли частично производно. частна производна Тя се изчислява от функцията по отношение на X, приемайки, че - постоянна. частна производна изчислява чрез променливата Y, ако приемем, че X - постоянна.

При изчисляване на частично оперативните всички трикове изчислителни производни на сложни функции (не забравяйте веригите правило).

Пример 16.4. Изчислете частните производни

Solution.

- тук Той играе ролята на постоянен коефициент,

- В този случай числен коефициент, и производно на Ние изчисляваме "веригата".

Пример 16.5. Изчислете частните производни ,

Solution.

Поради това е константа, и се използва формулата на производно на функция мощност ,

защото И ние използваме формулата за производната на експоненциална функция ,

Пример 16.6. Изчислява частните производни на функция на три променливи ,

Solution.

, , ,

Механичен или кинетична чувство за частична остава същото: те се характеризират степента на промяна на функцията на променливите х и у отделно. С малко по-сложна геометрия. За функция на една променлива производно числено равно на наклона на допирателната към положителната посока на оста на Ох.

За функцията допирателна на две променливи "движи" в равнина, допирателна към повърхността, определена от уравнението , Всяка линия, преминаваща през точката на контакт, и да лежи в равнината, допирателна към повърхността. Ние избираме една такава, че неговата проекция върху Hoy равнина, успоредна на говедото на ос. В този случай, ще бъде постоянна стойност и наклона на допирателната към положителната посока на оста х е равно на частна производна , Ако се вгледаме в друга допирателната, чиято проекция на Hoy равнина, успоредна на оста OY, в този случай, х е константа. Наклонът на допирателната към положителна посока на оста OY е равна на стойността на частично производно в този момент (фиг. 16.4).

Фиг. 16.4

За функции, които съдържат по-голям брой променливи, може да се даде геометрична интерпретация на частични производни.

16.5. диференциал

Въпросът е, не дали има общо производно на функцията на две или повече аргументи? Там не съществува. Но цялостната промяна във функцията може да се характеризира с общата разлика Тъй като основната част от функцията за увеличение. За функция на една променлива разл е , За функция на две променливи е логично да се очаква сумата от "частични диференциали". А строг доказателство на това твърдение може да се намери в препоръчителната литература. Ние се ограничим до определянето и покаже своето заявление за решаване на проблемите.

Определяне 16.8. Нека функцията непрекъснато заедно с частични производни по отношение на х и у. пълен диференциал нарича сумата от продуктите на частични разлики в съответните независими променливи, т.е.

, (16.8)

Този израз е аналог на формулата за диференциални функции на една променлива. Добавен е нов термин, и прост дериват на една променлива х се заменя с частни производни по отношение на х и у. За функция на три променливи ще утрои размера.

Припомнете си, че диференциалната функция е приблизително равна на прираста му: , Следователно, стойността на функцията на може да се определи от приблизителното уравнение:

(16.9)

където DX и ди - нарастването на аргументите х и у, съответно.

Пример 16.7. Намери общата разлика и общо увеличение Dz и функция ако , , , ,

Solution. Намерете стойността на

(3 и ,

на масата на логаритми или работа с калкулатори. Ние дефинираме на нарастване на функцията

,

Намираме диференциалите на аргументите:

, ,

след това

,

и, накрая, ние се

,

Сравнете нарастването и разлика ,

Приблизително изчисли стойността на формула (16.9):

,

Намираме относителната грешка на изчисления:

,

което показва, че в достатъчна степен на точност на изчисленията.

В различни точки на функцията има различни стойности на частните производни, така диференциали ще бъдат различни. Тъй като е възможно да се прецени степента на увеличение и намаление функция.

16.6. градиент

Въпросът за съществуването на един единствен производно на функция на две променливи не престава да вълнува любознателен човечеството. Но променливите х и у, не могат да бъдат обединени, така че проблемът формулиран по друг начин: ако във всяка точка на промените на функцията в две или повече аргументи, в каква посока ще се променят най-много?

Посока, както е известно, се дава от вектора. вектор може да се запише в общ вид, както следва: където - Координати на вектора в декартовата основа, | - Vector модул

, ,

- Уюта на посоката на сумата от техните квадрати, се равнява на един. Тя координира вектор посока единица за вектора , Той се използва в изчисленията, е важно, когато е посока, не дължината на вектора.

Нека функцията непрекъснато заедно с нейните частни производни в домейн D и точката Той принадлежи към тази функция. От М вектора на точка , Израз на формата

(16.10)

Тя се нарича функцията производно в посоката на вектора , Тя ви позволява да се намери скоростта на промяна на тази функция в посоката на вектора ,

Помислете вектора, чиито координати са равни на частните производни на в точка, , Този вектор се нарича градиент на функцията в този момент.

, (16.11)

Сравнение на тези уравнения показва, че производно в даден момент по посока на вектора има максимална стойност, ако вектор посока Това съвпада с посоката на градиента. Това е най-високата стойност на производната е равна на модула на градиента в този момент. Ето защо, вектор градиент показва посоката на най-голямото увеличение на функцията в този момент, и му единица - най-високият процент на увеличение.

Пример 16.8. функция Dana , Намерете производната на в точка
M (1, 1, 1) в посока на вектора и градиент вектор. Сравнете скоростта на функция на климата в тези области.

Solution. С цел да се намери производната по посока на вектора, първо намери своя магнитуд и уюта на посока.

, , , ,

Намираме частните производни на функцията в точката :

, , ,

Производното на функция в посоката на вектора :

,

Ние се образува градиент вектор намери частните производни в точка M и да намерят своя модул:

,

,

че можеше да се очаква.

Ако функцията е функция на две променливи, векторът

в точка Hoy лежи в равнината и перпендикулярно на повърхността равнината на секцията за прожектиране Паралелно с равнина Hoy на. (Фиг. 16.5).

Фиг. 16.5

16.7. заключение

Нека да направим първите изводи по темата.

1. промяна Закон една променлива U в отговор на две или повече взаимно независими променливи X, Y и т.н. Това се нарича функция от много променливи.

U 2. Промени в различни променливи различават един от друг и се характеризират с частични производни. Частични производни показват степента на промяна в посоката си.

3. степента на промяна в произволна посока характеризира с производно вектор с посока ,

4. посоката, в която скоростта е по-голям, се дава с вектор, имащ специално името на градиента. Неговите координати са равни на стойността на частните производни в даден момент, и модула - скоростта на промяна.





; Дата: 04.01.2014; ; Прегледи: 1192; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



zdes-stroika.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.26
Page генерирана за: 0.123 сек.