Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

критерии за оптимизация

Класически основите на оптимизация

проблеми оптимизиране на управлението и дизайн

РЕЗЮМЕ на оптимизация

Оптимизация - е процес на намиране на най-доброто решение на проблема определя от определени предварително установени критерии. С други думи, това е целенасочена дейност, е да се получат най-добри резултати при определени условия.

в широкия смисъл на оптимизацията на дума има приложения в науката, инженерството, и във всяка друга сфера на човешката дейност, като например:

- Дизайнът на сложни инженерни съоръжения и системи;

- В управлението на производството, технически и икономически системи;

- В процеса на развитие на автоматизираните информационни системи, и т.н.

По този начин, оптимален контрол може да се прилага като набор от правила, стратегия за контрол или метод, чрез който да се процедира в дадена ситуация (военни, промишлени, и т.н.), или като комплексен технически контрол (пространство на обект или море , инженерен проект, и т.н.).

Търсенето на оптимални решения доведе до създаването на специални математически методи, и в XVIII век. математически основи са положени оптимизация (вариационен смятане, числени методи, и т.н.). Въпреки това, докато през втората половина на ХХ век. методи за оптимизация в много области на науката и технологиите се използват рядко, тъй като практическото използване на математически методи за оптимизация изисква огромна изчислителна работа, за да осъзнаят, че е изключително трудно без компютри, а в някои случаи - това е невъзможно. Например, големи трудности възникват при решаване на оптимизационни проблеми в процесите на химична технология се дължи на големия брой параметри и тяхното сложното взаимодействие между тях. Ако имате проблем с компютъра се опростява значително.

оптимизира формулировката на проблема предполага наличието на следните условия:

1. Наличие на оптимизация и оптимизация на целевата обект. Формулировката на всеки проблем оптимизация трябва да изисква изключителна стойност е само една стойност, т.е. в същото време системата не трябва да се дължи на две или повече критерий оптимизация (почти винаги екстремум на критерия не съответства на екстремум на другия).

Ето един типичен пример за неправилно твърдение на оптимизационната задача: ". Вземете максимална производителност при минимални разходи" Грешката се състои в това, че поставя задачата за намиране на оптимални стойности на две противоположни в природата. Правилното формулиране на проблема може да бъде следното: ". Вземете максимална производителност при дадена цена, или да получите на минималната цена на определена доходност"



В първия случай, критерият оптимизация - изпълнение, а вторият - разходи.

2. Наличието на оптимизация на ресурсите, която се отнася до способността за коригиране на стойността на някои параметри оптимизирани обект. Обектът трябва да има определени степени на свобода - контролни действия.

3. Възможността за количествено определяне на стойността на оптимизирана, тъй като само в този случай е възможно да се сравнят ефектите на избора на някои контролни действия.

4. При спазване на ограниченията.

Често, стойността, свързана с оптимизирана ефективност на работа на обекта. Оптимизирана версия на работа обект трябва да се преценява оптималност критерий, който се разбира като количествена оценка на качеството на оптимизираната обект.

обективната функция се извършва въз основа на избрания критерий оптималност, което е зависимостта на критерия за оптималност на параметрите, влияещи върху стойността му. Виж критерий оптималност или обективна функция се определя от специфичен проблем оптимизация.

По този начин, проблемът за оптимизация се свежда до намиране на екстремум на целевата функция.

Най-общо формулиране на проблема е оптималният израз на критерий за оптималност под формата на икономическа оценка (производителност, производствените разходи, марж на печалбата). Понякога, по-специално на оптимизационни задачи, когато обектът е част от процеса, не винаги е възможно и не винаги е уместно да се разпределят на пряк икономически показател, че напълно ще характеризират ефективността на въпросния предмет. В такива случаи, на критерия за оптималност може да бъде технологични характеристики косвено оценяваха ефективността на работа на уреда (контакт добив време, скорост на преобразуване, температура).

The оптимизационни проблеми важното е да се използва систематичен подход към отчета за проблем. Същността на подхода на системи е цялостен, единен разглеждането на всички части на системата и тяхната ефективна комбинация. По този начин, в възможни космически полети, увеличаване на теглото на кораба, за да се постигне максимална оперативна самостоятелност, независимо от това на Земята. Можете да, напротив, осигурява добра връзка с превозното средство, вече оборудване, пуснато на Земята, намаляване на максималното тегло на кораба. Optimum граничен земята разпределение на теглото и за оборудване на влаковете трябва да определя методите на оптимизация на базата на критерия за оптималност и състоянието на техниката, на разположение на дизайнерите.

Процесът на проектиране на всяка система включва общо следните етапи:

- Създаването на математически модел на процеса, който искате да се контролира (фасилити мениджмънт), и система за контрол с обратна връзка (контур на управление);

- Намирането на официално (математически) право (описание) за управлението на получената модел;

- Развитие (придобиване) на системния софтуер и управление на хардуера комплекс информационни системи и компютърни комуникации;

- Развитие на информация и софтуер.

При всеки от тези етапи, има състав проблем и оптимизиране на критерии оптималност. Например, по време на развитието на информацията и софтуера, който трябва да реши проблема за оптимизиране на програмирането, т.е. задачата за генериране на компилатор изхода на програмата, която е най-добрият начин за използване на компютърни ресурси. Задачата е разделена на няколко под-задачи, например:

- Global програма за оптимизация - създаден с пренареждане на последователността на изпълнение на инструкция, за да се премахнат излишните изчисления;

- Регистрация на софтуер за оптимизация - свързване на компютри, за да се регистрират променливи и междинни резултати, за да се намали броят на "неактивен" уволнение регистри;

- Локално програмиране оптимизация - адаптация на програмата към специфичните характеристики на компютърна архитектура.

Въпреки общия системен подход включва оптимизиране на всички етапи, всеки един от тях не може да бъде индивидуално оптимално.

За да реши проблемите за оптимизация, първо трябва да бъде в състояние да формулират критерии за оптимизация и собствени методи (процедури) за оптимизация.

Класически основи на оптимизационни методи, се определят от изследването на функции в математическия анализ.

Известно е, че F функцията (х) има локален минимум на х 0, ако има някои положителни номер D, така че ако S X - X 0 S <D, след това е (х) ≥ е (х 0), т. д. ако има един квартал на х 0, така че за всички стойности на х в близост е (х) над F (х 0). (Х) функция F има глобален минимум на х *, ако за всички х на неравенството е (х) ≥ е (х *).

Фигура 1 показва графично представяне на дадена функция е една (X), която има локален минимум на х 0 и глобалната минимум при X *.

Фиг. 1а. Локални и глобални минимуми

Класическият подход към проблема за намиране на стойностите на х 0 и х * е да се намерят уравнения, които те трябва да отговарят. Представени на фиг. 1 и функцията и неговите производни са непрекъснати, и е ясно, че точките X 0 и X * F '(X) (градиент) функцията на производно е равна на нула. Следователно, х 0 и X * са разтвори на уравнението

F '(X) = 0.

Точка х m, когато се достигне локален максимум, и точката с X, в която има инфлексна точка на хоризонталните функции също удовлетворява уравнението. Следователно, F уравнение "(X) = 0 е само необходимо условие за минимум, но не достатъчно условие за минимум.

Имайте предвид обаче, че точките х 0 и х * деривативния F "(х) се променя знак от отрицателна на положителна. В точка х т, промените в знак от положителна на отрицателна, докато точка х век не го променят. Следователно, производно на минималната е нарастваща функция, и от степента на нарастване на F '(X), измерено от второто производно, може да се очаква, че е "(X 0)> 0, F" (X *)> 0, а F "(х т) <0.

Ако, обаче, втората производна е нула, ситуацията е несигурна.

Горните резултати може да се намери надежден обосновка, ако вземем предвид разширяването на F на функция (х) в поредица Тейлър в околностите на х 0 (или х * или х м), която изисква непрекъснатост на F на функция (х) и неговите производни:

F (X 0 + Н) - F (X 0) = Н F '(х 0) + (! Н 2/2) F "(х 0) + ...

Ако точка х 0 минимума от лявата страна на уравнението е неотрицателна за всяко достатъчно малък ч. Следователно първото производно F "(X 0) трябва да бъде нула. Това е достатъчно условие (вж. F на уравнение "(х) = 0). Ако тя е положителна, след това достатъчно малка отрицателна стойност на час ще направи дясната ръка

F (X 0 + Н) - F (X 0) = Н F '(х 0) + (! Н 2/2) F "(х 0) + ...

отрицателна, и ако той е отрицателен, тогава достатъчно малка положителна стойност на час ще направи от дясната страна на отрицателен.

Така че, както винаги, Н2> 0, ако е "(X 0)> 0, х при 0 се постига най-малко. Ако е '(х м) = 0 и F "(х м) <0, а след това на същите съображения точка х т се постига максимално. За да се определи разликите между местната и глобалната минимум е необходимо да се сравнят стойностите на F (х 0) и функции е (х *).

Например, ние се разгледа естеството на точките за функция инфлексни

F (X) = х 3 - х 2 х 2 + + 1

от F '(X) = 3 X 2 - X 4 + 1 = 0 и 3 - 1) (X - 1) = 0, X = 1.3 или X = 1.

Когато х = 1/3 от производно е '(X) се променя знак от положителна на отрицателна, а когато х = 1 - от отрицателна на положителна. Следователно, при х = 3.1 се достига максимум, и х = 1 - минимум.

Този пример може да бъде решен по по-прост начин, ако ние изчисляваме втората производна F "(х) = 6 х - 4:

F "(1/3) = - 2, т.е. е отрицателен, и когато х = 1.3 се достигне максималната;

F "(1) = 2, т.е. е положителен, и когато х = 1, като минималното количество е постигната. Неяснота възниква, когато F "(X) = 0, може да бъде решен чрез увеличаване на броя на членовете на формула серия разширяване на Тейлър:

F (X 0 + Н) Г (х) = СН "(х 0) + (2/2 ч!) F" (х 0) + (3/3 ч!) F ' "(х 0) + ( Н 4/4!) F ' "' (х 0) + ...

Възможно е да се формулира следното правило:

"Ако F функцията (X) и неговите производни са непрекъснати, тогава точката X 0 е точката на екстремум (максимум или минимум), ако и само ако п е дори, където п - от порядъка на първия неинвертиращ нула при х = 0 деривата. Ако F '(X 0) <0, тогава точката X 0 достигне максимума, ако бъде F' (X 0)> 0, тогава точката X 0 се постига най-малко ".

Например, да намерите на инфлексна точка на F на функция (х) = (х - 1) 6.

F '(X) = 6 (X - 1) 5 = 0 при х = 1.

Първият неинвертиращ нула при х = 1 производно е е 6 (1) = 6!. Следователно е (х) функция има минимален при х = 1.

Функцията на N реални променливи могат да бъдат представени като

F (X 1, X 2, X 3, ..., X п).

Една точка в наш тримерно евклидово пространство с координати х 1, х 2, х 3, ..., х п означава колона вектор х. Градиент функция, т.е. компоненти вектор ¶f / ¶x 1, ¶f / ¶x 2, ..., ¶f / ¶x N, обозначен с С F (X) или понякога г (х). Най-честият проблем на оптимизация се състои в намирането на минимума (или максимум) на функцията или функционални. В първия случай са стойността на п променливи X 1, X 2 ,. .., X N, за които функцията F (X 1, X 2, ..., X п) се крайната стойност на F = минути (макс).

В най-простия случай на диференцируема функция и неравенството нула втората производни на проблема намалява към разтвора на алгебрични N (обикновено нелинейни уравнения)

(1-1)
DF / DX I = 0, I = 1, 2, ..., N.

Когато оптимизиране управлението трябва да оперира с голям брой променливи. Тази специфичност на оптимизация, и е трудно да се оптимизира разтвор на дори с помощта на компютър.

Ако функцията F (X), където X = (X 1, X 2, ..., X п), в допълнение към променливите X 1, X 2, ..., X п зависи още (параметри) на друга променлива λ г. решение за всяка стойност на λ на (1-1) дава оптимално закона за контрол

х (L) = {1 х (L) х 2 (L), ..., X N (L)}.

Ето ни, в действителност, до функционална концепция, която е специален случай на функция. техники за оптимизация на базата на този критерий, образуват съдържанието на клона на математиката, наречен смятане на варианти. Понятието функционални математика е допълнително обобщение на понятието функция. Не много строго функционална може да се определи като функция на функцията, т.е. функция, в която като друга независима променлива функция.

Ако един набор от М стойности на х IM) отговаря на различен набор от N стойности за количеството Y, ние казваме, че у е функция на х, т.е. Y = F (X).

Например, нека M {1, 4, 9, и 8} N {20, 70,90, 110}, и нека всяка една от множеството на стойност х M у съответства на една стойност от набор N. Това - метод на възлагане функции в табличен вид. Това е често срещан в кибернетиката. Аналитичните функции може да се дава под формата Y = X 2, Y = грях х.

Ако M - набор от функции и всяка функция е (х), принадлежащ към M (х) Аз M}, се възлага на определена стойност на Y от множеството N, ние казваме, че набор М е зададена функционалност.

например

M {грях х, COS х, TG х, CTG х}

и

N {3, 4, 5, 18}.

Друг пример за функционална неразделна може да се определи

I = I {Y (х) } =

Всяка функция у (х) съответства на цифровата стойност на I. По този начин, когато Y = X I = 1/2, когато у = х 2 I = 1/3.

Можете да постави задачата Извличане функция у (х), която се плаща за тази функционалност в минималния (максимум), т.е.

I {Y} → мин (макс ).

Като цяло, подинтегрален във функционалната може да зависи изрично по аргумент X, Y, и производно ш ":

(1-2)
I {Y} = (X, Y, Y ') DX.

Лесно е да се покаже, че на записа (1-2) включва функция. Така че, ако ние поставяме

F (X, Y, Y ' ) = F (X) г (Тексас),

на

I = F (X) г (Тексас) DX = F (X),

когато <т <б.

По същия начин, ако си сложиш

F (X, Y, Y ' ) = C I е I (X) г (т аз-x ),

на

I = С аз е аз (T и).

Понякога смятат, че функционалните е функция на един безкраен брой променливи. Съответно, смятане на промените може да се разглежда като обобщение на методите Извличане екстремум функция в случай на голям или безкраен брой променливи. Всъщност, Y функцията (X) в формула (1-2) може да бъде заменена с многоъгълна линия сближаване а (фиг. 1) с върховете 0 Y = Y (X 0) Y = (а), Y 1 = Y (X 0 + Δx) , ин = Y (X 0 + Δ N х) = Y ( б), и неразделна - сумата от:

I = F (х аз, у, ( у, - у i- 1) / Δ х) Δ х.

Фиг. 1. Подмяна на интеграла за сумата

След това вариационен проблем приблизително решен като редовен задача за извличане на екстремум функция на наш променливи

I = (у 1, Y 2, ..., у п).

Това заключение се използва за основната си уравнение на смятане на промените, Ойлер.

Въпреки това, по-голямата част от оптимизация съдържа ограничения върху оригиналната функция. Да предположим, че е необходимо да се намали функционалния

I = (X, Y, Y ') DX ® мин

с ограничения

Й К (X, Y, Y ') ≤0;

к = 1, 2, 3, ..., М,

където φ к - някои функции.

Смисълът на тези отношения е, че ние не се стреми всяка функция у (х), се отнася до функционално минимум, и един, който да удовлетворява системата ограничения. Тя лесно се вижда, че по този начин стойността на условна екстремум (екстремуми функция при условие, когато критерият за оптимизация наложи ограничения) не може да бъде по-малко от абсолютното екстремум (без ограничения). По същия начин образува оптималност критерий (с ограничения) за функцията

(1-3)
F (X 1, X 2, ..., X п) ® мин ;

Й К (х 1, х 2, ..., х п) ≤0,

к = 1, 2, 3, ..., М.

В класическия смятане на промените във функционалната интеграл се разбира в общоприетия смисъл на думата като лимит на суми Darboux. Освен това, за да се съобразят с представянето на приложния слой на класическото понятие на функционалната (ако не се обърне специално споменаване) ще бъде използван.

Трябва да се отбележи, че във всички по-горните формули, х и у са вектори:

X = (X 1, X 2, ..., X п);

Y = (у 1, Y 2, ... уп;

F = (F 1, F 2, ..., F п).

Този формат за запис се използва широко и по-специално, е необходимо в случая на профила на многомерна оптимизация функция и оптимизиране на няколко функции.

оптимизация проблем с ограничения по същество е довело до класическите методи на преразглеждане и развитие на нови методи, известни като методи за програмиране. Ако във формулите (1-3) всички линейни функции, има линейно програмиране проблем. Като цяло, тези отношения определят проблема на нелинейни програмиране.

Критерият за оптимизация - количествено или поредният индикатор, който изразява крайната мярка на икономическа, научна, техническа или друга сила на решение за сравнителна оценка на възможните решения (алтернативи) и изберете най-доброто.

Изборът на критерий за оптимизация - един от най-важните в оптимизирането на процесите в същото време той е един от най-трудно, и процесът на критерии за подбор включва значителен творчески компонент. Нека разгледаме по-подробно изискванията, на които трябва да бъдат приложени към критерия за оптимизация.

Критерият за оптимизация е да:

- Изрази количествено;

- Да бъде единственият;

- Отразява най-важните аспекти на процеса;

- Има ясен физичен смисъл и се изчислява лесно.

При определяне на конкретни цели за оптимизиране на критерия за оптимизация трябва да бъде написана под формата на аналитични изрази. В случая, когато случайни смущения са малки и влиянието им върху обекта могат да бъдат пренебрегнати, критерият за оптимизация може да се представи като функция на параметрите за въвеждане, извеждане и контрол:

K неучастие. = К (X 1, X 2, ..., N X, Y 1, Y 2, Y ... N, U 1, U 2, ... U N),

където К - критерий за оптимизация; Y - изходни параметри; X - контролирано входни параметри; U - регулируеми параметри на контрол.

Тъй като Y = F (U), а след това в продължение на определен X могат да бъдат написани K = (U аз Wed)

По този начин всяка промяна в стойностите на контролните параметри двойно отразява на стойността на K:

- Просто защото контролни параметри директно включени в изразяването на критерия за оптимизация;

- Индиректно - чрез промяна в изходните параметри на процеса, които зависят от мениджърите.

Ако случайни сътресения са достатъчно големи и трябва да бъдат взети под внимание, че е необходимо да се прилага експериментални и статистически методи, които ще получите модела на обекта като функция на

Y = φ (X I, U I),

която е валидна само за изучаване на местния район. Тогава критерий за оптималност добиват следната форма:

K = K (X Wed, на U сряда).

По принцип, вместо оптимизиране на математически модел може да се използва и на самия обект, но оптимизация има редица емпирично следните недостатъци:

- Има нужда от реален обект;

- Технологичен режим трябва да се променя в широки граници, това не винаги е възможно;

- Продължителност на изпитването и сложността на обработката на данни.

Наличието на математически модел (при условие, че тя е достатъчно надеждна описва процеса) тя позволява много по-лесно да се реши проблема с оптимизация на аналитични или числени методи.

Критерии за оптимизация може да се класифицират по различни начини, в зависимост от конкретните задачи.

Така че, понякога се прави разлика прости и сложни критерии за оптимизация. Критерият за оптимизация е проста, ако искате да се определи екстремум на целевата функция, без да поставя условия на каквито и да било други ценности. Тези критерии се използват обикновено при решаване на проблеми оптимизация частни (например определяне на максималната концентрация на желания продукт, оптималното време за пребиваване на реакционната смес в апарата, и т.н.).

Критерият за оптимизация се нарича комплекс, ако имате нужда да инсталирате екстремум на целевата функция, при определени условия, които налагат ограничения върху редица други променливи (например, определянето на максимална ефективност при дадена цена, определянето на оптималната температура с ограничения за устойчивост на топлина). Като правило, процедура за решаване на проблемите за оптимизация трябва да включва, в допълнение към избора на параметрите на контрол и повече ограничения на тези параметри. Ограниченията могат да бъдат наложени както на технологичните и икономически причини.

В други случаи, има два вида критерии за оптимизация. Това е, от една страна, прагматичен оптимизация критерии - развита практика на качествените и количествените характеристики на оптимално функциониране на различните системи и, второ, за критериите за оптимизация математика - математически критерии за оптималност, разработени от математиците основните аналитични, графични-аналитични, цифрови и компютърни техники за оптимизация.

В момента на сближаването се наблюдава на тези два критерия: от една страна, нови математически методи за оптимизация, като максималната принципа и динамично програмиране, които са по-подходящи за решаване на практически задачи за оптимизация, от друга страна, практиката на проектиране е все използва критерии за оптималност, комфортен в математически смисъл. Това се случи с средния критерий за квадратен грешка се приема като оценка на точността на автоматични системи за управление, и на критерия за вероятност, за да се утвърди като количествена оценка на ефективността на системата.

На практика, като се използват различни критерии за оптимизация. Изборът на критерии зависи от икономист или проектанта на системата за контрол, и това дава един елемент от липса на строгост. В същото време, когато се използва в изчисленията за оптимизиране програмни езици, библиотеки на приложение все повече използват стандартни критерии, които са общоприети и се въвеждат директно в техническата задача.

На следващо място, ние считаме, някои примери за критерии за оптимизация, които се използват в инженерната практика.

Критерият на средноквадратичната грешка - минималното изискване на дисперсия или квадратна грешка между набор ч (т) и системата за изходен сигнал х (т).

Този критерий се използва за оценка на качеството на автоматични системи за управление и е подходящ за решаване на математически задачи за оптимизация. Изискването или минималната квадратна грешка дисперсия (фиг. 2) между целта (или желани) з (Т) и изход х (Т) се записва като система от сигнали

срв д 2 = [ч (т) - х (т)] 2 ® мин срв

означава по нежелан (в сравнение с линеен закон) голям (по-малко от) от стойността на грешка (фиг. 3). Освен това, в съответствие с фигура 2. Н (Т) се получава от М полезен входен сигнал (Т) с х предварително определен оператор (Т), докато реалната X (т) сигнал се получава от входния сигнал и (т) с използване на К оператор (Т), която трябва да се намери. При използване на критерия

| Електронна Чет | = | H (т) - х (т) | ср = мин,

където "CP" означава средно над ансамбъла, като се смята, че щетите, причинени от грешка, пропорционална на неговата големина.

Фиг. 2. Схема на автоматична грешка система за контрол на откриване

Фиг. 3. Оценка на дисперсията на стойността на управление на качеството

средната квадратна грешка Е 2 ср - тази функционалност от своя импулс функция отговор за стационарни сигнали и линейна система има формата

вж е 2 = R Н (0) - 2 (Τ) R ХС (τ) dτ + (Τ) dτ 1) С (τ τ-1)1,

където R з (τ) и R S (τ) - желания корелация функция ч (т) и на входа и (т) на сигнала и R HS (т) - взаимното им функция корелация.

Ако се намали необходимостта от предоставяне на предварително определена стойност на динамичните грешки, добавя условия

(Τ) (- τ) Z dτ = μ Z, Z = 1, 2, ..., М,

където μ Z - дадени числа, и проблемът се превръща в вариационен проблем на условен екстремум.

Неразделна критерий - критерий, който има формата на интеграла над интервала (по принцип на полето) на която (та) да определи желаната функция. Такой критерий, в частности, используется для определения параметров системы управления, оптимальной в переходном режиме, и в качестве него иногда выбирается минимум функционала

I 1 = [ e 2 + T 2 ( de/dt ) 2 ] dt ,

где e - ошибка рассогласования в системе (рис. 4).

Фиг. 4. Интегральный критерий качества

Оптимальная система управления - система, реализованная в виде набора правил, стратегии, согласно которым следует поступать в соответствующих ситуациях для получения оптимального решения.

Требованием минимума функционала

I 1 ® min

можно обеспечить в системе переходный процесс с малыми отклонениями, величина которых определяет величину интеграла

Переходный процесс достаточно плавный, без резких колебаний, что определяется величиной интеграла

( de/dt ) 2 dt ,

который по существу включает управление по производной. Дело в том, что при переходе нулевого значения ошибки e производная e / принимает большие значения и из-за этого возникают большие переколебания. Наличие второго члена в функционале уменьшает значение производной, способствуя меньшим колебаниям.

Интегральный критерий требует минимума суммарной площади, ограниченной кривыми ошибки, ее производной и осью абсцисс, причем последняя площадь берется с весом Т. Из рис. 4 видно, что эти две кривые “работают” со сдвигом примерно в 90 градусов, и коэффициент Т осуществляет оптимальный баланс между управлением по ошибке и по производной.

Критерий максимального быстродействия состоит в минимизации времени, за которое управляемый объект должен перейти в заданное состояние.

Этот критерий возник при зарождении вариационного исчисления (первая задача которого – задача о “брахистохроне”, кривой наискорейшего спуска, и была задачей быстродействия) и основное развитие получил при решении военных задач в 60-е гг. XX в., в которых быстродействие является принципиальным фактором.

В наиболее распространенном случае задача оптимизации по быстродействию сводится к получению переходного процесса, заканчивающегося в кратчайшее время. Будь то система управления ракетой или антенной радиолокационной станции, требуется, чтобы переходный процесс заканчивался в минимальное время. Дело в том, что до окончания переходного процесса система не может выполнить своего основного назначения следящей системы, например антенна радиолокационной станции не может следить за входным сигналом (рис. 5). Для этого случая в функционале

I = ( x, y, y' ) dx ® min

необходимо положить

F(x, x', t) =1

и, изменив x ® t, y ® x, y' ® x' , получить

I 2 = ( x, x', t ) dt = t k - t 0 → min,

причем t 0 соответствует начальным координатам процесса, а t k - конечным.

Наиболее распространено получение оптимального переходного процесса с включением максимального ускорения в начале с последующим переходом на максимальное торможение. В этом случае необходимо только определить момент переключения t n . Задача максимального быстродействия может возникнуть не обязательно в связи с переходным процессом следящих систем. Если, например, требуется за наименьшее время доставить летательный аппарат с Земли на Луну, то эта задача также сведется к задаче о максимальном быстродействии.

Критерий минимума стоимости в единицу времени – стоимость функционирования совокупности систем массового обслуживания в единицу времени.

Фиг. 5. Система, оптимальная по быстродействию

В качестве другого примера функционала, встречающегося в практике проектирования оптимальных систем, можно привести стоимость функционирования совокупности систем массового обслуживания (или сети массового обслуживания) в единицу времени

C = c 1 p ср + c 2 w ср ,

где p ср — среднее число свободных приборов; w ср — среднее число заявок, ожидающих своей очереди; c 1 и с 2 — стоимости простоев одного прибора и заявки, соответственно, в единицу времени.

Из-за случайности потока заявок и времени их обслуживания всегда имеется какое-то среднее число простаивающих приборов или ожидающих заявок. Требуется так распределить число приборов по разным системам, чтобы С = min. Такая кибернетическая модель и критерии широко используются при создании оптимальных систем управления в сфере обслуживания, например управления системой гостиниц. В качестве заявок здесь выступают клиенты, в качестве приборов - администраторы. Поток клиентов и время их обслуживания — случайные величины. Плохо, и когда простаивают администраторы, и когда ожидают клиенты. Минимум функционала

C = c 1 p ср + c 2 w ср

означает оптимальный выбор числа администраторов, основанный на определенной статистике потока клиентов. Для решения задачи должны быть известны значения стоимости простоя клиентов и администраторов. Величины p ср и w ср являются функциями числа приборов на отдельных участках.

В отличие от предыдущих случаев, эта задача имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число приборов может изменяться только дискретным образом. Поэтому здесь неприменимо классическое вариационное исчисление, и необходимо применять специальные методы типа дискретного и целочисленного программирования.

Критерий минимума критического времени выполнения работы – это минимизация критического пути по графу при ограниченных ресурсах.

В связи с интенсивным внедрением сетевых методов планирования и управления возникают задачи о критическом пути. Например, выполнение сложного проекта сводится к последовательности выполнения какого-то определенного количества работ. Для отображения этого процесса прибегают к геометрической интерпретации с помощью графа (рис. 6).

Фиг. 6. Сетевой граф комплекса работ

Узел графа обозначает конец одной работы и начало другой. Дуга, или ребро, графа - работа, а длина ребра пропорциональна времени выполнения работы. Пусть длительность выполнения отдельной работы

t ij = t j - t i ,

где t i и t j — моменты времени, соответствующие началу и концу работы.

Критическим в графе будет такой путь, на котором суммарное время выполнения работ максимально. Этот путь задерживает всю разработку: без его уменьшения невозможно сократить время выполнения всей разработки. Критический путь определяется решением экстремальной задачи, в которой обращается в максимум следующее выражение:

t кр = ® max.

Суммирование в этой двойной сумме необходимо производить таким образом, чтобы получить путь из начальной вершины t 0 в конечную t к без разрыва и дважды не пройти по одной и той же дуге. Критерий минимума критического времени

I = t кр ® min

означает минимизацию критического пути при ограниченных ресурсах. При этом наличные ресурсы распределяются на те работы, которые лежат на критическом пути. В данном случае, по существу, решается минимаксная задача, характерная для теории игр:

min max = ?,

причем максимум выбирается среди всех путей в графе по времени выполнения работ, а минимум берется по ресурсам для работ, лежащих на критическом пути.

Минимаксный критерий – используется для определения оптимальной стратегии при наличии ситуации, когда интересы двух сторон противоположны.

Минимаксный критерий широко используется для определения оптимальной стратегии при наличии конфликтной ситуации, когда интересы двух сторон противоположны, т.е. выигрыш одной стороны означает проигрыш другой. В этом случае часто приходится выбирать среди худших для себя стратегий противника наименее худшую, т.е. брать максимум по множеству стратегий противника и минимум по собственным стратегиям. В этом и заключается минимаксный критерий, широко используемый в теории игр. В теории матричных игр задается матрица платежей

|| a ij ||,

где i= 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Каждый элемент этой матрицы означает платеж противнику в случае, когда он применяет стратегию j, а наша сторона - стратегию i. Требуется найти среди множества худших для нас стратегий противника наименее плохую, т.е. решить минимаксную задачу

min max a ij = ?

ij

Нетрудно убедиться, что если поменять знаки а ij на обратные, а это физически означает замену проигрыша нашей стороны на выигрыш, то будет решаться максиминная задача

max min (-а ij ) = ?

ij

В некоторых задачах, имеющих так называемую седловую точку,

min max a ij = max min a ij .

ijij

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| критерии за оптимизация

; Дата: 04.01.2014; ; Прегледи: 779; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



zdes-stroika.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.24
Page генерирана за: 0.081 сек.