Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

приклад




план

план

план

план

план

план

1. Rіvnyannya pryamoї в prostorі.

2. Vzaєmne rozmіschennya pryamoї ploschini съм prostorі.

1. Rіvnyannya pryamoї в prostorі

Точно в prostorі mozhna zadati як lіnіyu peretinu dvoh ploschin в pryamokutnіy sistemі координати:

(4.1)

Zrozumіlo Scho tsі ploschini труд Бути neparalelnimi, tobto їhnі normalnі вектори , - Не kolіnearnі. Системата (2.31) nazivaєtsya zagalnim rіvnyannyam pryamoї. Dіstanemo пререже deyakі ФОРМИ rіvnyannya pryamoї.

Kanonіchne rіvnyannya pryamoї. Нека той да има sistemі Ohuz координати дадена линия л аз nenulovy вектор , Kolіnearny tsіy pryamіy. точка nalezhit pryamіy и napryamny вектор , Todі dovіlna точка M (X, Y, Z) на lezhatime pryamіy todі аз tіlki todі, ако вектори аз kolіnearnі:

, (4.2)

Rіvnyannya (2.32) nazivaєtsya kanonіchnim rіvnyannyam pryamoї в prostorі.

The параметър rіvnyannya.

В rіvnyannі pryamoї (2.32) poznachimo чрез кожен Т Н rіvnih vіdnoshen. Todі

,

Zvіdsi dіstaєmo:

В параметрите rіvnyannya pryamoї в prostorі.

Rіvnyannya pryamoї Scho премине през DVI zadanі точка.

Нека точка DVI аз nalezhat pryamіy в prostorі. Todі вектор mozhna rozglyadati як napryamny вектор pryamoї. Zamіnyuyuchi го вектор rіvnyannі от (2.32), dіstanemo Shukanov rіvnyannya pryamoї в prostorі

,

За znahodzhennya Кута mіzh Еиад директно

аз

vіzmemo да uwagi, Scho вектори аз kolіnearnі vіdpovіdnim разговор skoristaєmosya формула:

,

W ostannoї на формулиране viplivaє Umov perpendikulyarnostі dvoh директно

,

и умовете paralelnostі dvoh директно dіstanemo умове як kolіnearnostі napryamnih vektorіv аз :

,

Rozglyanemo цепка задача znahodzhennya vіdstanі точка OD да pryamoї ,

Фиг. 4.1

Shukanov vіdstan mozhna rozglyanuti як dovzhinu висота paralelograma, pobudovanogo на вектори аз (Фиг. 4.1). Vіdomo Scho Ploscha paralelograma dorіvnyuє единица вектор dobutku vektorіv на yakih pobudovano Tsey успоредник. Dohodimo visnovku Scho Shukanov висота и otzhe, аз OD vіdstan точка до pryamoї mozhna наясно по следната формула:

(4.3)

2. Vzaєmne rozmіschennya pryamoї ploschini аз имам prostorі

Нека го попитам директно, аз ploschinu в prostorі. Yakscho

,

След това правата линия, перпендикулярна на ploschini, и ако

,

е прав паралелен ploschinі.

Nekhay , Znaydemo точка координати peretinu ploschini аз pryamoї. Pereydemo да kanonіchnogo rіvnyannya pryamoї

Znaydemo кът mіzh ploschinoyu аз директно.

Фиг. 4.2

Кут Й mіzh ploschinoyu директно dorіvnyuє Кута mіzh разговор її proektsієyu на ploschinu (фиг. 2.24). вектор - Перпендикулярна ploschini и кът с, Yaky vіn utvoryuє вектор ите , S й по време sumі dorіvnyuє 90 °. Tobto А + J = 90 °.

Znaydemo кът кът як mіzh Еиад вектори.

,



Yakscho след това И Yakscho след това , От дали пари ли razі , Otzhe,

,

5. При спазване Krivі друга цел

1. Kanonіchne rіvnyannya elіpsa.

2. Kanonіchne rіvnyannyam gіperboli.

3. Kanonіchne rіvnyannyam параболичен аз кола.

Rozglyanemo teper lіnії друг SSMSC цел на ploschinі в zagalnomu vipadku mozhna zapisati, както следва:

и 11 х 2 + 2 и 12 + х, и 22 в 2 + 2 и 13 + х 2 и 23 и Y + 33 = 0. (5,1)

Rіvnyannya (2.19) opisuє OAO All krivі друг, за zagalnomu vipadku. Spinimos spochatku на prostіshih, така че заглавието на kanonіchnih rіvnyannyah lіnіy друга цел.

Elіps. Означение. Mnozhina tochok ploschini за yakih торба vіdstaney ОД dvoh задачи tochok Scho nazivayutsya огнища Да магнитуд станаха първите такива Scho dorіvnyuє 2 и аз bіlsha, nіzh vіdstan mіzh трикове nazivaєtsya elіpsom.

Фиг. 5.1

Фиг. 2.16 zobrazheno F 1 (- С, 0)
F 2 (С, 0) - Съсредоточете elіpsa, M (X, Y) - mnozhini точка, як zadovolnyaє гореспоменатото, tobto И 2 << 2 а Þ един> обл.

Todі

(5.2)

kanonіchne rіvnyannya elіpsa де б 2 = а 2 - в 2.

Rozglyanemo геометрична zmіst parametrіv Scho rіvnyannya включени в (5.2). Yakscho х = 0, у = ± б, tobto точка (0, б) и (0, - б) Да точки peretinu elіpsa ите vіssyu Oy. Vіdrіzok zavdovzhki б nazivayut maloyu pіvvіssyu elіpsa. Ако Y = 0, X = ± I и vіdpovіdno (А, 0); (- A; 0) Je посочва peretinu elіpsa ите vіssyu О. Vіdrіzok zavdovzhki добре - големи pіvvіs elіpsa. W parnostі virazu (5.2) за х над у, viplivaє simetrіya elіpsa vіdnosno оси аз Ox Oy. Фиг. 5.1 zobrazheno elіps.

Ексцентритет elіpsa - TSE vіdnoshennya ; за означаващо аз EI [0, 1). Oskіlki на , W ostannoї rіvnostі viplivaє zmіst геометрична ексцентричност, Yaky polyagaє всъщност Scho vіn harakterizuє stupіn vityagnutostі elіpsa. По този начин, когато maєmo Коло, Yakscho д nablizhaєtsya да odinitsі тогава vіdnoshennya dovzhini pіvosey elіpsa staє Малим, tobto elіps vityaguєtsya vzdovzh osі О.

Gіperbola. Означение. Mnozhina tochok ploschini за yakih модул rіznitsі vіdstaney ОД dvoh задачи tochok Scho nazivayutsya огнища Да голям като стомана, як dorіvnyuє 2 и аз Mensch за vіdstan mіzh трикове nazivaєtsya gіperboloyu.

Skoristaєmos Фиг. 2.17, а yakogo bachimo Scho точка F 1 (- С, 0) и F 2 (С, 0) - Съсредоточете gіperboli, на точка M (X, Y) - точка viznachenoї mnozhini. Todі ,

Kanonіchne rіvnyannya gіperboli Got viglyad:

De б 2 = C 2 - 2.

Фиг. 5.2

Doslіdimo zdobute rіvnyannya. Gіperbola не peretinaє vіs Oy. Ако Y = 0;
X = ± I и точката (- А, 0); (A, 0) - точката peretinu ите vіssyu О. Rozglyanemo цепка rіvnyannya директно , SSMSC Дали nazivatimemo асимптоти gіperboli. Vrahovuyuchi simetrіyu vіdnosno оси Ox аз О, buduєmo grafіk gіperboli, Yaky zobrazheno на фиг. 5.2.

Vіdrіzki zavdovzhki б I A I nazivayut vіdpovіdno uyavnoyu dіysnoyu gіperboli оси.

ексцентричност gіperboli , Ale с> един т.е.> 1. Beruchi да uwagi, Scho 2 = а 2 + б 2, dіstaєmo: , АВО ,

W ostannoї rіvnostі viplivaє, Scho за gіperboli ексцентричност harakterizuє stupіn Nakheel vіtok gіperboli да osі О.

DVI pryamі, rіvnyannya yakih , Nazivayutsya directrices elіpsa аз gіperboli. За elіpsa аз vіdnoshennya , Директорка elіpsa - TSE DVI pryamі Scho rozmіschenі симетрично vіdnosno osі О аз преминаване zovnі elіpsa. За gіperboli д> 1 и vіdnoshennya , Tobto директорка gіperboli rozmіschenі симетрично vіdnosno osі О аз лъжа mіzh vіtkami gіperboli.

За elіpsa аз gіperboli mozhna sformulyuvati vazhlive tverdzhennya: Yakscho R - vіdstan ОД deyakoї точка elіpsa ABO gіperboli дали yakogo съсредоточи, и г - vіdstan ОД tsієї samoї точка на директорката, як vіdpovіdaє tsomu фокус, vіdnoshennya остаряла ия dorіvnyuє ексцентричност, tobto ,

Rozglyanute tverdzhennya mozhna poklast основа на гореспоменатия Tsikh lіnіy.

Означение. Mnozhina tochok за yakih vіdnoshennya vіdstaney ОД Фокус аз да vіdpovіdnoї директорка - стойността е Scho dorіvnyuє електронна ексцентричност, Je elіps, Yakscho д <1, аз gіperbola,
Yakscho д> 1.

Фиг. 5.3

Парабола. Означение. Mnozhina tochok ploschini Scho mіstyatsya на odnakovіy vіdstanі ОД danoї фокусна точка аз danoї pryamoї, як не преминават през фокусна точка аз nazivaєtsya директорка, Je парабола.

За горепосочените R = г, otzhe (DIV Фигура 5.3 ..):

АВО при 2 = 2 пиксела

- Kanonіchne rіvnyannya парабола ако е = 1. параболата симетрично osі О, да премине през ухото на координатната система. Її grafіk подадена на фиг. 5.3.

Фиг. 5.4

Colo. За кривата на друга цел nalezhit аз добър vіdoma lіnіya, як nazivaєtsya дял (фиг. 5.4).

Означение. Mnozhina tochok Scho mіstyatsya на odnakovіy vіdstanі OD
zadanoї точка - център nazivaєtsya дял. За гореспоменатия OM = R ABO ,

Pіdnіsshi obidvі Частейн rіvnyannya да квадрат dіstanemo:

(X - а) 2 + (Y - б) 2 = R 2 (5.4)

- Kanonіchne rіvnyannya дял. Тук (а, б) - координатите на центъра на кол, R - Yogo radіus. Rozkrivshi лък в lіvіy chastinі (5.4), dіstanemo очевидно rіvnyannya други градуса, tobto Коло - takozh крива на друга цел.

poslіdovnostі 6. При граници chislovoї

1. Ponyattya chislovoї poslіdovnostі че її granitsі.

2. Zagalnі vlastivostі zbіzhnih poslіdovnostey.

3. Теорема, SSMSC polegshuyut znahodzhennya poslіdovnostey граница.

1. Ponyattya chislovoї poslіdovnostі че її granitsі

Означение. Chislova funktsіya Район viznachennya yakoї Je mnozhina естествена поредица от числа, цифров nazivaєtsya poslіdovnіstyu, АВО просто poslіdovnіstyu, аз poznachaєtsya , Nadalі pisatimemo

значение nazivayutsya poslіdovnostі членове. Poslіdovnіst vvazhaєtsya задачи Yakscho съдържа N-ти мандат poslіdovnostі.

Butt. Членовете на poslіdovnostі три Zapisati Pershi , Maєmo

Butt. Quest troma членове Perche poslіdovnostі Знам, че формулата за N-ти член.

Задача rozv'yazuєtsya от хоризонтали ч следните perevіrkoyu ,

Означение. Броят и границата на nazivaєtsya poslіdovnostі , Yakscho дали yakogo , Як б мала vono не Bulo, іsnuє номер N Taqiy, Scho за vsіh nomerіv vikonuєtsya nerіvnіst ,

Poznachennya АВО ,

За stislogo записи горепосочените granitsі vikoristaєmo quantifiers: "- за това дали yakogo, дали Yaky; $ - іsnuє, znaydetsya;
= Dorіvnyuє за гореспоменатия, oznachaє. Todі гореспоменатия granitsі poslіdovnostі за Tsikh Relief simvolіv изписва така:

Rozglyanemo геометрична іnterpretatsіyu granitsі poslіdovnostі. На chislovіy osі pobuduєmo д-okіl номер tobto іnterval (а - д; А + Е), аз pokazhemo, як rozmіschuvatimutsya точка SSMSC vіdpovіdayut членове poslіdovnostі при (Фиг. 3.12).

Фиг. 6.1

Означение. Броят и границата на nazivaєtsya poslіdovnostі х п, Yakscho дали yakogo електронна около точка и іsnuє номер N Taqiy, Scho, pochinayuchi ите nomerіv , Членовете на usі poslіdovnostі perebuvayut в електронна okolі точка а (DIV. Фиг. 6.1).

Означение. Poslіdovnіst nazivaєtsya zbіzhnoyu, Yakscho Won Got граница (skіnchennu). Poslіdovnіst, як не Got granitsі, nazivaєtsya rozbіzhnoyu.

Butt. Донеси за гореспоменатия, Scho ,

Zauvazhimo Scho п-ти мандат poslіdovnostі ; тя poslіdovnіst ТАКА: , За да донесе potrіbno Quest Знайте poslіdovnostі номер N, Taqiy, Scho в vsіh стаи vikonuvatimetsya nerіvnіst , Rozv'yazhemo Stop nerіvnіst vіdnosno п:

Viberemo * , Todі в nerіvnіst vikonuєtsya и otzhe, vikonuєtsya аз nerіvnіst Означават донесе Scho Otzhe, за да се коригира за гореспоменатия pevnoї granitsі poslіdovnostі dosit pobuduvati funktsіonalnu zalezhnіst N OD на електронна, tobto знаете funktsіyu N (д). В rozglyanutomu prikladі funktsіya , I Quest дали Якима zavzhdi mozhna знаете vіdpovіdny номер N; napriklad в , при nerіvnіst vikonuєtsya.

2. Zagalnі vlastivostі zbіzhnih poslіdovnostey.

Теорема 1. (Єdinіst granitsі poslіdovnostі). Yakscho poslіdovnіst Got граница, спечели єdina.

Теорема 2. (Neobhіdna Umov zbіzhnostі poslіdovnostі). Yakscho poslіdovnіst zbіzhna, след това спечели obmezhena.

Теорема 3. Yakscho Тогава іsnuє Taqiy номер N, Scho в vsіh vikonuєtsya nerіvnіst ,

Butt. Poslіdovnіst в rozgornutomu viglyadі ТАКА: , За nomerіv Членовете на usі poslіdovnostі ще menshі 2.

Теорема 4. Граничните staloї количества dorіvnyuє stalіy, tobto

3. Теорема, SSMSC polegshuyut znahodzhennya poslіdovnostey граница.

Теорема 1. (Boundary perehіd в nerіvnostі).

Yakscho дали yakogo н vikonuєtsya nerіvnіst аз - Zbіzhnі г. ,

Теорема 2. (Pro граничен zatisnenoї poslіdovnostі). Yakscho дали yakogo п аз след това

Butt.

Теорема 3. (Veyєrshtrassa). За граници monotonnoї ия obmezhenoї poslіdovnostі:

1) Yakscho монотонно увеличаване poslіdovnіst obmezhena zverhu, след това спечели zbіzhna;

2) Yakscho монотонно spadna poslіdovnіst obmezhena znizu, след това спечели zbіzhna.

Butt. Донеси Scho при , при Събирането по-очевидна. Nekhay , Todі poslіdovnіst - (.. Divas Фигура 3.8) Еднотонно spadna I obmezhena znizu , Otzhe за Теорема Veyєrshtrassa poslіdovnіst Има граница, як poznachimo, както следва: , Poslіdovnіst За vinyatkom Perche член zbіgaєtsya ите poslіdovnіstyu , Otzhe, , Zvіdsi viplivaє Scho , tobto АВО , ейл , Otzhe, , Nekhay teper ,

Rozglyanemo

Butt.

Тема 7. Pohіdna funktsії

1. гореспоменатия pohіdnoї.

2. Osnovnі правила diferentsіyuvannya.

3. Pohіdnі ОД Главна elementarnih funktsіy.

4. Pohіdnі vischih poryadkіv.

1. гореспоменатия pohіdnoї

Nekhay funktsіya viznachena на deyakomu promіzhku (а; б). стойности Vіzmemo аз nadamo растеж аргумент , растеж Todі funktsіya Naboodah , Rozglyanemo funktsії растеж vіdnoshennya да спечели аргумент аз pereydemo най granitsі :

, (7.1)

Yakscho граница (4.1) и іsnuє skіnchenna, Won nazivaєtsya pohіdnoyu funktsії zmіnnoyu за х аз poznachaєtsya

,

Означение. Pohіdnoyu funktsії за nazivaєtsya граничен растеж аргумент е vіdnoshennya funktsії на увеличението в аргумента, ако аргумент prirіst pryamuє до нула.

Operatsіya znahodzhennya pohіdnoї nazivaєtsya diferentsіyuvannyam tsієї funktsії.

Koristuyuchis гореспоменатия pohіdnoї, знам pohіdnі funktsіy.

Butt. Funktsіya у = х 2. Знайте pohіdnu при х = 3, I = х - 4.

л Nadamo аргумент х печалба , Todі funktsіya Naboodah растеж

Sklademo растеж vіdnoshennya funktsії да аргумент растеж , Vіdshukaєmo граница , Така ранг, ,

Pohіdna в tochtsі х = 3 И pohіdna при х = - 4 Bude ,

Butt. де ,

л Nada аргумент растеж , Dіstanemo prirіst funktsії , Teper znaydemo граничен vіdnoshennya при :

, tobto

Butt. ,

л Koristuyuchis vіdomoyu ите trigonometrії формула

,

znaydemo prirіst funktsії в tochtsі аз obchislimo граница:

,

;

,

Analogіchno mozhna dіstati: ,

Butt. ,

л За tsієї funktsії maєmo

,

tobto ,

2. правила Osnovnі diferentsіyuvannya

Теорема 1. Pohіdna staloї dorіvnyuє нула tobto Yakscho Y = C, де а = конст, то ,

Теорема 2. Pohіdna algebraїchnoї Sumi skіnchennoї kіlkostі diferentsіyovnih funktsіy dorіvnyuє algebraїchnіy sumі pohіdnih Tsikh funktsіy: ,

Теорема 3. Pohіdna dobutku dvoh diferentsіyovnih funktsіy dorіvnyuє dobutku Perche mnozhnika на pohіdnu друг плюс още dobutok mnozhnika на pohіdnu Perche:

,

Теорема 4. стомана mnozhnik mozhna vinositi за знак pohіdnoї:

де ,

Теорема 5. Yakscho chiselnik аз znamennik фракция diferentsіyovnі funktsії (znamennik peretvoryuєtsya не нула), фракция pohіdna takozh на dorіvnyuє фракции chiselnik yakogo Je rіznitseyu dobutkіv znamennika на pohіdnu chiselnika аз chiselnika на pohіdnu znamennika и znamennik Je квадрат znamennika Pochatkova фракции ,

Zauvazhennya. Pohіdnu ОД funktsії де , Zruchno obchislyuvati як pohіdnu ОД dobutku staloї количества funktsіyu на ф (х):

,

Butt. Obchisliti pohіdnu да има funktsії = TG х.

Така ранг, ,

Pohіdna skladnoї funktsії. Нека го има = F (ф), де , tobto , Funktsіya е (ф) nazivaєtsya zovnіshnoyu и funktsіya - Vnutrіshnoyu, АВО аргумент promіzhnim.

Теорема 6. Yakscho в = е (ф) е - Diferentsіyovnі funktsії ОД svoїh argumentіv тогава pohіdna skladnoї funktsії іsnuє аз dorіvnyuє ,

Така ранг, pohіdna skladnoї funktsії dorіvnyuє dobutku pohіdnoї zovnіshnoї funktsії за promіzhnim аргумент на promіzhnogo аргумент pohіdnu за от независимия zmіnnoyu.

Pohіdna neyavnoї funktsії. Nekhay rіvnyannya F (х; у) = 0 viznachaє от як имплицитно funktsіyu ОД ите. Nadalі ще vvazhati, Scho tsya funktsіya - diferentsіyovna.

Prodiferentsіyuvavshi за х obidvі Частейн rіvnyannya F (х; у) = 0, dіstanemo rіvnyannya Perche степен vіdnosno , W tsogo rіvnyannya лесно да се знае , Tobto pohіdnu neyavnoї funktsії.

Butt. зная ите rіvnyannya ,

л Oskіlki в Je funktsієyu ОД х, тогава у 2 rozglyadatimemo Як Folding funktsіyu ОД х tobto ,

Prodiferentsіyuvavshi в х obidvі Частейн задачи rіvnyannya, dіstanemo , Zvіdsi ,

Pohіdna obernenoї funktsії. Nekhay zadanі DVI vzaєmno obernenі diferentsіyovnі funktsії

Y = F (X) е ,

Теорема 7. Pohіdna obernenoї funktsії от zmіnnіy в dorіvnyuє obernenіy velichinі pohіdnoї ОД pryamoї funktsії ,

Butt. Obchisliti pohіdnu за funktsії ,

л Получавайки funktsіya Завършете funktsії , Zgіdno ите Теорема 7 може zapisati

,

Zvіdsi ,

Yakscho в ostannomu virazі zamіst zapisati в х, тогава dіstanemo

,

3. Pohіdnі ОД Главна elementarnih funktsіy

За analogієyu ите poperednіmi бъчви mozhna dіstati pohіdnі ОД Главна elementarnih funktsіy:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ,

Prodiferentsіyuvati podanі Dali funktsії.

Butt. ,

л Dana funktsіya Je algebraїchnoyu sumoyu funktsіy, да vikoristovuєmo Теорема 2:

,

В zdobutomu virazі Purshia dodanok algebraїchnoї Sumi Je dobutok staloї количества на stepenevu funktsіyu Þ - zastosuєmo да Демба Теорема 4 аз формула (2) tablitsі pohіdnih; Други - іrratsіonalna funktsіya ите pokaznikom - Zastosuєmo формула (2) tablitsі pohіdnih; tretіy - logarifmіchna funktsіya ите Основи д Þ - vikoristaєmo формула (5):

,

Butt. ,

л Получавайки funktsіya Folding: zovnіshnya - pokaznikova funktsіya ите база 6 vnutrіshnya за neї - Auburn тригонометрични. Auburn тригонометрични, в неговата Черга, Je сгъване за yakoї vnutrіshnya funktsіya - algebraїchna Suma , За Sumi аргумент (skіnchennim) Je х.

Така ранг, предвид funktsіya Je superpozitsієyu troh funktsіy.

Когато diferentsіyuvannі poslіdovno zastosovuєmo две Рази Теорема 6:

В tsomu virazі znizu bilja kozhnoї kvadratnoї преклони vkazano аргумент за Якима slіd diferentsіyuvati funktsіyu взето в носа.

Teper poslіdovno skoristaєmosya формули (4) (11) (2) tablitsі pohіdnih че теореми 1, 2. Dіstanemo:

,

Vzagalі vikoristanі правила, че формулата не fіksuyut и zapisuyut kіntsevy резултат їh zastosuvannya.

Butt. ,

л Получавайки funktsіya Je stepenevo-pokaznikovim virazom ум

де , (7,5)

Prologarifmuєmo funktsіyu (4.5), като основа за д:

, (7.6)

Oskіlki аз - Skladnі funktsії, pіslya diferentsіyuvannya oboh Частейн rіvnostі (4.6) dіstanemo:

,

Zvіdsi ,

Така ранг, dіstali формула за znahodzhennya pohіdnoї ОД stepenevo-pokaznikovoї форма funktsії (4.5).

, (7.7)

В danomu vipadku формула (4.7) viglyadaє як

,

4. Pohіdnі vischih poryadkіv

Pohіdna ОД funktsії nazivaєtsya pohіdnoyu Perche ред аз го yavlyaє deyaku Нова funktsіyu. Mozhlivі vipadki, ако tsya funktsіya самата Got pohіdnu. Todі pohіdna ОД pohіdnoї Perche поръчка nazivaєtsya pohіdnoyu друга цел ОД funktsії аз poznachaєtsya ,

Pohіdna OD pohіdnoї друга цел nazivaєtsya pohіdnoyu третия ред аз oznachaєtsya , ,

Pohіdna ОД pohіdnoї (N - 1)-ти ред nazivaєtsya pohіdnoyu п-ти ред аз poznachaєtsya ,

Така ранг,

Butt. Знайте pohіdnu третия ред за funktsії ,

л ,

Тема 8. Neviznacheny іntegral

1. Ponyattya pervіsnoї.

2. Проблем іntegruvannya. Neviznacheny іntegral.

3. Vlastivostі neviznachenogo іntegrala. Таблица Key іntegralіv.

4. Ponyattya viznachenogo іntegrala. Vlastivostі viznachenogo іntegrala.

5. Формула Leybnіtsa Нютон. Obchislennya равна площ fіgur в координати pryamokutnіy sistemі.

1. Ponyattya pervіsnoї

Означение. Funktsіya F (х) nazivaєtsya pervіsnoyu funktsії за е (х) на promіzhku I, Yakscho на tsomu promіzhku АВО ,

Іz гореспоменатия vihodit Scho pervіsna F (х) - diferentsіyovna и означава neperervna funktsіya на promіzhku аз, аз її viglyad suttєvo депозити ОД promіzhku на пари ли Спечелил rozglyadaєtsya.

Butt. Pervіsnі за funktsії mayutsya viglyad:

, по- ;

бо ;

, по- ,

Фиг. 8.1

където F 1 (х), F 2 (X) - neperervnі И F 3 (х) при х = 0 tochtsі Got RPPOs (фиг. 7.1). В tsomu prikladі pervіsnі F I (х) I = 1, 2, 3, открити по следния хоризонтали іz perevіrkoyu, а vikoristannyam tablitsі pohіdnih funktsіy.

Теорема 1 (около mnozhinu pervіsnih). Yakscho F (х) - pervіsna funktsії за е (х) на promіzhku Аз,

1) F (х) + C - takozh pervіsna за е (х) на promіzhku I;

2) дали як pervіsna F (х) за F (х) Mauger Бути подадена в viglyadі F (х) = F (х) + C на I promіzhku. (Тук с = конст nazivaєtsya dovіlnoyu стомана.)

Naslіdok .Dvі дали SSMSC pervіsnі за odnієї ия tієї samoї funktsії promіzhku на I vіdrіznyayutsya го mіzh върху размера на стомана (фиг. 8.1).

2. Проблем іntegruvannya. Neviznacheny іntegral

Означение. Operatsіya znahodzhennya pervіsnih funktsії за е (х) nazivaєtsya іntegruvannyam е (х).

Задача іntegruvannya funktsії на promіzhku polyagaє всъщност обитатели знам OAO All pervіsnі funktsії на tsomu promіzhku, АВО донесе, Scho не Got funktsіya pervіsnih на tsomu promіzhku.

За rozv'yazuvannya zadachі іntegruvannya funktsії dostatno знам дали як pervіsnu на rozglyaduvanomu promіzhku, napriklad F (х), todі (за теоремата за mnozhinu pervіsnih) F (х) + C - zagalny viglyad vsієї mnozhini pervіsnih на tsomu promіzhku.

Означение. Funktsіya F (х) + C, Scho го zagalny viglyad vsієї mnozhini pervіsnih funktsії за е (х) на promіzhku I, nazivaєtsya neviznachenim іntegralom ОД funktsії е (х) на I и promіzhku poznachaєtsya yavlyaє

, , (8.1)

де - Влезте neviznachenogo іntegrala;

е (х) - pіdіntegralna funktsіya;

е (х) DX - pіdіntegralny viraz;

DX - diferentsіal zmіnnoї іntegruvannya.

Фиг. 8.2

Геометрична zmіst neviznachenogo іntegrala polyagaє всъщност Scho funktsіya Je rіvnyannya odnoparametrichnoї sіm'ї крива SSMSC utvoryuyutsya един и odnoї паралелно Прехвърлени uzdovzh osі координати (фиг. 8.2).

Теорема 2 (Koshі). За іsnuvannya neviznachenogo іntegrala funktsії за е (х) на Pevnyi promіzhku dostatno, обитатели е (х) е разгледана neperervnoyu на tsomu promіzhku.

Zauvazhennya. Viyavlyaєtsya, Je takі neviznachenі іntegrali ОД elementarnih funktsіy, SSMSC чрез elementarnі funktsії не virazhayutsya, napriklad:

, , ,

іsnuyut в кожен іz promіzhkіv oblastі viznachennya, ейл zapisati їh elementarnі funktsії не е възможно чрез osnovnі; в "neіntegrovnimi" като rozumіnnі tsі іntegrali nazivayut.

3. Vlastivostі neviznachenogo іntegrala

а) Vlastivostі Scho viplivayut іz гореспоменатия (8.1).

I. Pohіdna ОД neviznachenogo іntegrala dorіvnyuє pіdіntegralnіy funktsії ,

II. Diferentsіal ОД neviznachenogo іntegrala dorіvnyuє pіdіntegralnomu virazu.

III. ,

б) правила Vlastivostі Scho vіdobrazhayut osnovnі іntegruvannya.

IV. Steel mnozhnik Scho dorіvnyuє не нулеви, можете да vinositi S-PID знак іntegrala, tobto

(8.2)

V. Neviznacheny іntegral ОД Sumi funktsіy dorіvnyuє sumі neviznachenih іntegralіv ОД Tsikh funktsіy, Yakscho смрад іsnuyut, tobto

(8.3)

4. Таблица Key іntegralіv

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ,

5. Ponyattya viznachenogo іntegrala

Nekhay - Deyaka funktsіya Scho promіzhku дадени на [а; Ь]. Rozіb'єmo [а; б] в N точки Частейн така Scho

Obchislimo де

Sklademo іntegralnu торба ,

Poznachimo ,

Означение. Yakscho іsnuє skіnchenna граничен іntegralnih сума S н в Аз не депозити Ni ОД метод rozbittya на [а; б] в Частейн , Ni OD VIBOR tochok Тогава tsya граничен nazivaєtsya viznachenim іntegralom ОД funktsії promіzhku на [а; б] аз poznachaєtsya:

(8.4)

De - Влезте viznachenogo іntegrala;

а, б - на дъното е горната mezhі іntegruvannya;

е (х) - pіdіntegralna funktsіya;

е (х) DX - pіdіntegralny viraz;

DX - diferentsіal zmіnnoї іntegruvannya.

За горепосоченото, viznacheny іntegral - Брой, як депозити ОД тип funktsії promіzhku че [а; Ь]; vіn не депозити ОД на писма yakoyu Отбелязаните zmіnna іntegruvannya:

Означение. Funktsіya за yakoї на [а; б] іsnuє viznacheny іntegral nazivaєtsya іntegrovnoyu на tsomu promіzhku.

Дали Bude показано Scho neperervnі funktsії - іntegrovnі.

Геометрична zmіst viznachenogo іntegrala

Yakscho след това dorіvnyuє ploschі vіdpovіdnoї krivolіnіynoї trapetsії (фиг. 8.4).

6. Vlastivostі viznachenogo іntegrala

I. Yakscho след това

II. Steel mnozhnik mozhna vinositi S-PID подпише viznachenogo іntegrala, tobto

III. Yakscho че іntegrovnі на [а; б], след това

IV. Yakscho имат viznachenomu іntegralі pomіnyati mіstsyami mezhі іntegruvannya тогава іntegral zmіnit лишаване svіy подпише protilezhny, tobto

V. Viznacheny іntegral ите odnakovimi mezhami іntegruvannya dorіvnyuє нула

VI. Yakscho - Іntegrovna дали пари ли іz promіzhkіv: [а; б], [А; С], [С; б], след това

VII. Yakscho аз іntegrovna за на

VIII. Yakscho , - Това іntegrovnі за на

IX. Yakscho е (х) - е іntegrovna за на

Събирането viplivaє як naslіdok іz vlastivostey на I е VIII.

H. Теорема 7 (около serednє).

Yakscho funktsіya - За neperervna След като точка znaydetsya на Scho:

(8.5)

Zmіst геометрични теореми за serednє polyagaє всъщност Scho іsnuє pryamokutnik іz партии че б - а, Yaky rіvnoveliky krivolіnіynіy trapetsії AABB за умовете, Scho funktsіya че neperervna promіzhku на [а; Ь] (фиг. 7.6).

Фиг. 8.3

1. Формула Leybnіtsa Нютон.

Rozglyanemo іntegral , Yaky Бюд ОД funktsієyu verhnoї mezhі іntegruvannya. Zmіnnіy х nadamo растеж Scho отдалечава prirіst funktsії.

(Фиг. 8.4)

Фиг. 8.4

Теорема 8. Yakscho funktsіya е (х) за neperervna дали yakogo pohіdna ОД іntegrala на Zi zmіnnoyu горната mezheyu іntegruvannya на tsіy mezhі dorіvnyuє pіdіntegralnіy funktsії ОД verhnoї mezhі іntegruvannya, tobto

(8.6)

Naslіdki:

1. Viznacheny іntegral Zi zmіnnoyu горната mezheyu ОД funktsії Даже един іz pervіsnih за ,

2. Дали як neperervna funktsіya на promіzhku Има по tsomu promіzhku pervіsnu, як, napriklad, zavzhdi mozhna pobuduvati в viglyadі viznachenogo іntegrala Zi zmіnnoyu горната mezheyu, tobto

Butt. зная ,

л Funktsіya - Neperervna на promіzhku че

Теорема 9. (Leybnіtsa-Newton). Yakscho funktsіya - За neperervna на viznacheny іntegral ОД funktsії на promіzhku pervіsnoї funktsії dorіvnyuє растеж на tsomu promіzhku, tobto

де (8.7)

Poznachimo dіyu podvіynoї pіdstanovki, както следва: todі телефон рецепция mіzh viznachenim че neviznachenim іntegralami mozhna данъци с такъв rіvnіstyu:

(8.8)

Naslіdok. За obchislennya viznachenogo іntegrala dostatno знам един іz pervіsnih pіdіntegralnih funktsіy аз vikonati над нея podvіynu pіdstanovku.

Butt.

7. Obchislennya равна площ fіgur в координати pryamokutnіy sistemі.

Yakoyu не беше разгледана krivolіnіyna fіgura Scho obmezhena neperervnimi крива lіnіyami, Шляков її rozsіkannya lіnіyami паралелни оси, obchislennya ploschі fіguri mozhna zvesti да obchislennya Площ rozglyanutih nizhche fіgur.

I. Fіgura obmezhena lіnіyami , Y = 0, X = A, X = В ( фиг. 8.5). Funktsіya - Това neperervna Ploscha S takoї krivolіnіynoї trapetsії за геометрична zmіstom viznachenogo іntegrala ТАКА: ,

Yakscho в vikonannі vsіh іnshih умове (Фиг. 8.6)

(8.9)

Фиг. 8.5 Фиг. 8.6 Фиг. 8.7

II. Fіgura obmezhena lіnіyami (Фиг. 8.7). Funktsіya - Това neperervna Ploscha S takoї fіguri Bude

(8.10)


1. Osnovnі ponyattya.

2. Viznachniki ДРУГИ трети poryadkіv, їh vlastivostі

3. Mіnori че algebraїchnі dopovnennya.

4. Obchislennya viznachnikіv

5. Правило Креймър.

1. Osnovnі ponyattya

алгебра Предметът rozglyadu lіnіynoї за ekonomіstіv Je nasampered teorіya системи lіnіynih rіvnyan, SSMSC в zagalnomu viglyadі mozhna данъци, както следва:

(1.1)

система (1.1) m nazivaєtsya система lіnіynih rіvnyan S nevіdomimi (zmіnnimi) де X 1, X 2, ..., N X - nevіdomі; а ий - Koefіtsієnti Sistemi rіvnyan; б аз - членове Vіlnі ABO pravі Частейн Sistemi rіvnyan. OAO All Yakscho б I = 0 , Системата lіnіynih rіvnyan nazivaєtsya odnorіdnoyu.





; Дата: 05.01.2014; ; Прегледи: 867; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



zdes-stroika.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.22
Page генерирана за: 0.194 сек.