Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Ортогонална матрица

Операции на линейни оператори.

Диагонал оглед на линейна матрица оператор

Да предположим, че имаме един линеен оператор с матрица A.

Теорема: "Състоянието на диагонална матрица"

линейна матрица оператор е диагонална, ако и само ако всеки база вектор е собствен вектор на Z оператор

Редуцируеми да диагонал форма се нарича матрица, в която има неочаквани матрица, за която: Т -1 · A · I, получената матрица се нарича диагонал. За изграждането на матрицата, което трябва да определи собствените стойности на характеристика уравнението за матрица А.

Теорема: матрица A е линеен оператор IR N-ти пространство е намалено до една диагонална форма, ако и само ако. Когато е на базата на това пространство, състояща се от собствени вектори. Доказателството се основава на предишната теорема и определението.

Matrix ще бъде намалена до диагонал форма, ако всички негови собствени стойности ламбда аз се различават.

Продуктовата (състава) на линеен оператор на линейна оператор е линеен оператор е най-новото приложение на операторите и B, обозначен с: B × A, т.е. за вектор X е от вида: Ax = B × V (Ax)

Продуктът на линейни оператори, е самата декларация.

Наистина, за всяко х и у основава на определянето на линеен оператор получаваме:

В = A × (λh βu +) = V (A (+ λh βu)) = B (A (λh) + A (βu)) = λV (Ah) + βV (Au).

Теорема: ако по някакъв база на линейния оператор А и В са съответно на матрици А и В, а след това им продукт A × B е матрица B · A

Сумата от много оператори А и Б на линейно пространство, има К оператор, така че за всеки вектор X, равенството:

Kx = Ax + Bx

За оператора, имаме формулата: A + B = B + A

Теорема: Ако линеен оператори А и Б имат някакво основание в същата тази база матрица (A + B).

Линейни оператори могат да бъдат изродени и не-дегенерат.

Теорема: продуктът от двама оператори, които не са изродени имат не-дегенерат оператор.

Доказателство:

Нека матрици А и В - матрицата на не-изродени оператори A и B. Тогава Det A ≠ 0, (Аа ≠ 0), Det B ≠ 0 (АЬ ≠ 0)

Творби от много оператори в матрицата съответства на VA. Ние показваме, че тя е и не-дегенерат: Det (B · A) = detB · Deta ≠ 0 => оператор е nondegenerate.

Да бъде евклидово пространство IR N сто.

Matrix ортонормирана система от вектори:

и 1 = (а 11, 21, ..., и п 1)

2 = (12, 22, ..., и 2 п)

и п = (N 1, и ­ И 2 N, ... и NN)

Тя се нарича ортогонална.

За ортонормирани вектори е

Единична ортогонална матрица, Пример (Det = 1)



Теорема: в ред. За матрицата е ортогонална, е необходимо и достатъчно, че равенството: A т · A = E

Доказателство:

Нека B = А Т-А, елементите на матрицата са равни:

(1)

- Елементите на транспонирана матрица, така че "=" означава, че B = E => Т · A = E, както и обратното, ако Т · A = E, тогава имаме равенство (1), който е правоъгълната матрица А.

C1: детерминантата на ортогонална матрица единица е UNIT

C2: ортогонална матрица nonsingular

C3: продукта на две ортогонални матрици - ортогонална матрица

C4: необходимо и достатъчно условие за ортогонална матрица A е условието: Т = А -1

C5: транспонирането ще ортогонална ортогонална матрица

C6: ортогонална матрица обратна ортогонална прекалено, но в размер на ортогонални матрици не е ортогонална.

Матрицата на преход от една база в друга ортонормирана е ортогонална.

Ортогонално оператор - оператор на пространството евклидовата, ортогонална, които в някаква основа ортонормирана.

Теорема: линеен оператор евклидово пространство е ортогонална, ако и само ако тя се превръща в един ортонормирана ортонормирана.

Известно е, че правоъгълната операторът не променя скаларно произведение на вектора (=> от експресията на вътрешното произведение на координатите в ортонормирана базисни вектори, А => не променя норма на вектора и ъгъл)

Всяко ортогонален оператор не се изроди.

Симетричните оператори евклидово пространство:

А линеен оператор A евклидово пространство E п се нарича симетрична и самостоятелно долепени, след това 2, ако за всяко вектори а и б от това пространство, равенството: (Аа, б) = (A, AB ), т.е. ако скаларна продукт на символа на оператора може да се прехвърля от един набор в друг.

Symmetric оператор евклидово пространство, в който и да е ортонормирана база, дадена от симетрична матрица (условието е вярно и обратното).

Доказателство:

Да предположим, че първият симетричен оператор А в ортонормирана база д ­ 1, е ­ 2, ..., д ­ п матрица, дадено от т.е. равенство: Ae = A · д като ортонормирана база от аксиоми на скаларна продукт получаваме:

(Ac аз, д й)

J, Ae I) =

Тъй като A е симетрична оператор, определението на симетричен оператор A =>

A - линеен оператор е определена в база е 1, е 2, ... електронна н, - Важи за всички елементи на матрицата вземем произволно линейно пространство 2:

(АВ, C) = (б, Ac),

Защото е 1 ... д п - ортогонална база

и като α ий = α джи, на (АВ, с) = (б , Ac)

Теорема: всички характерни корени са реално симетричен оператор.

Теорема: линеен оператор евклидово пространство, ако и само ако може да бъде симетрична, когато в пространството съществува база ортонормирана, всеки вектор, който е собствен вектор на оператора.

Собствените вектори на симетричен оператор, се отнася до различни своите собствени ценности orthonormality заедно.

T 2: квадратичен форми

F (X 1, X 2, ..., N х) =

Пример: Нека е дадена квадратното формата:

А =

Намаляване на квадратичен форми към нормален изглед.

квадратна форма F на (X 1, X 2, ..., х п) се нарича канонично, ако тя не съдържа продукти на различни променливи, т.е.

F (X 1, X 2, ..., N х) =

R - ранг на квадратното формата

Най-канонична форма на квадрат се нарича нормално, ако: (а II) = 1, т.е. ненулеви коефициенти на променливите квадратни = 1 или = -1

F =

F =

Ако квадратното формата е с матрицата на ранг R, които не са изродени линейна трансформация на каноничната форма, броят на ненулевите коефициенти б = R.

каноничната форма на матрица е диагонална.

Теорема: Всяка не-дегенерат квадратна форма на някои линейни трансформации могат да бъдат превърнати в каноничен вид.

където

Доказателство:

Ние доказваме чрез индукция на матрица.

За п = 1 теоремата е вярно: е (х 1) = , Ние се докаже теоремата за квадратичен форми на п-ия променлива. Да приемем, че между коефициентите на II квадратна форма F (X 1, X 2, ..., N х) = Има 11 ≠ 0, тогава:

;

Що се отнася до новите променливи в:

; Ние се получи квадратна форма е 2 = F 2 (Y 2, ..., у п), тъй като квадратното формата зависи от редица променливи, и може да се приеме, за да доведе до по-канонична форма => квадратна форма Тя може да се намали до каноничната форма.

Конвертиране на променливи не са изродени

; на 11 ≠ 0 (*)

ð без дегенеративен "а" и води до формата *

Ако знаете ранга на формата, задачата на който и да е от тези три числа.

Теорема: две реални квадратни форми в п-променливи са последователни, ако и само ако те имат един и същи ранг и подписа

действителната форма на квантовата е е-не-положителна подкрепа, ако те са в нормален изглед, състояща се от N-положителен.

Теорема: квадратното форма F е реална матрица, ако и само ако си непълнолетни, са положителни. Т.е. непълнолетни лица, за 1 и 2, и т.н. Матрица, разположен в горния ляв ред.

Теорема: Ако съществува ортогонална трансформация с матрица с водещи недвижими квадратна форма: е (х 1, ..., х п) към каноничната форма МФ (Y 1, ..., у п) = след това н-характерните номера на матрицата А, квадратна форма е.

Доказателство:

Нека ортогонално превръща X = SU, където C резултати в квадратна форма на каноничната форма е (1), след това матрицата на φ е от вида: ; като D = C T A ∙ C, виж Теорема по-горе, и C е ортогонална матрица C T = C -1 => D = C -1 ∙ A ∙ C => λ аз - са характерни номерата на матрицата, като се вземат предвид израз D = C T A ∙ C, C = C -1 ∙ E и умножаване в ляво от матрицата от първото уравнение, получаваме: CD = CC T ∙ A ∙ C; CD = CC -1 ∙ A ∙ C ; CD = AC =>

=> AC = C (2)

За елементите б ий на матрица B, B = АС, според правилото за умножение, равенство на: б IJ = а аз 11 и к + аз2 2 J + ... + и в ∙ за Ню Джърси

От другата страна на (2) получаваме, че б у = а ий ∙ λ J => равенството: а аз 11 J + а аз 22 J + ... + и в ∙ с Ню Джърси = а ий ∙ λ J

Така J колона на матрицата С е характеристика вектор колона на матрицата с собствена стойност

Теорема: Има ортогонална трансформация това води до по каноничен вид за всяко реално квадратна форма.

Теорема: за някаква реална симетрична матрица A, съществува ортогонална матрица T, че T -1 ∙ A ∙ T - е диагонална матрица.

Доказателство:

И - реалната симетрична матрица от ред п.

е (х 1, ..., х п) - квадратното формата на матрицата, а след това, от предходната теорема, съществува ортогонална трансформация получената форма на каноничната форма. След това, обозначаващ матрицата на тази трансформация като T, ние получаваме T T ∙ A ∙ T = D, където D - допълнителна матрица. Тъй като матрица T-ортогонална матрица трансформация, след това T 1 = T T и се замести предишния получи T -1 ∙ A ∙ T = D.

От: Всеки недвижими симетрична матрица може да бъде намален до диагонална форма.

Теорема: Ако линейна трансформация на линейна пространство е истински симетрична матрица, в някои правоъгълната основа, тогава съществува ортогонална база, състояща се от собствени вектори на тази трансформация.

От тези теореми по принцип следва да ортогонална трансформация, в резултат на квадратното форма на каноничната форма:

1. Запис на матрицата на квадратното форма. Намеря Търсене на собствената си стойност и на п-близнак-ортогонални собствени вектори. ги нормализира.

2. Създаване на матрица на ортонормирани собствени вектори колони.

3. Въведете желаната ортогонална трансформация използвайки оригиналните матрици

Пример:

Намери ортогонална трансформация води до канонична форма, квадратна форма.

1) на 11 = 11, 12 = на 21 = -16 / 2 = 8, а = 22 -1

2) да намери своята стойност | A-λE | = 0

D = 400

λ 1 = -5; λ 2 = 15

3) (за всяка от собствената им да намерят своя собствен вектор стойност)

λ 1 = -5

-8u 1 + 2 = 0 4Y

2y 4Y 2 = 1 (Y 1; 2y 1) при 1 = C => собствен вектор

=> Собствен вектор Y =

λ 2 = 15

4) нормализира:

| Z | =

5) Вижте 2n.

6) Вижте 3n. X = BY

Има 2 начина:

1. метод Джакоби (редукция на квадратичен форми на каноничната форма)

Нанесете когато всички основни малолетните на квадратното форма, различна от 0.

След следната формула:

е (х 1, х 2, ..., х п) = X T ∙ A ∙ X =

2. Методът на Лагранж (намаляване на квадратното форма на каноничната форма).

Основната идея на метода е най-новото попълнение в квадратното 3 членовете във всяка аргумент, за да завърши на площада.

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| Ортогонална матрица

; Дата: 05.01.2014; ; Прегледи: 1285; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



zdes-stroika.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 66.102.9.26
Page генерирана за: 0.062 сек.