Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Основни теореми за границите на функции

Теореми за граници на функции

Лекция 13.

Основни теореми за границите на функции. Забележителни граници.

Теорема 1. функция у = ш В (х) не може да има повече от лимита за х → ,

Доказателство. Да приемем, напротив, нека функция у = у (х), като х → Тя има две лимит A 1 ≠ A 2. Според свойствата на безкрайно функции у (х) = A 1 + 1 (X) и у (х) = А 2 + 2 (X), където А 1 (х), 2 (X) ─ безкрайно е. като х → , След това 1 + 1 (х) = A + 2 2 (X) или 1 - 2 A 1 = а (х) - 2 (X). Все пак, това равенство е невъзможно, тъй като от лявата страна е константа, различна от нула, и дясното ─ безкрайно функция.

Теорема 2. Ако всеки от функциите у = у (х), Z = Z (х) има лимит като х → , Сумата, разликата, произведението на тези функции също имат ограничения, с

1) (Y (Х) ± Z (X)) = Y (Х) ± Z (X);

2) (Y (Х) х Z (X)) = Y (Х) х Z (X),

Ако в допълнение, Z (х) ≠ 0, тогава частното Тя има лимит, с

3) = ,

Доказателство. нека Y (Х) = А, Z (X) = Б.

След това, от свойствата b.m.f. Y (Х) = A + A (X), Z (X) = B + B (X), където а (х), б (X) ─ b.m.f. като х → , Ние получаваме:

1) (X) ± Z (X) = (А ± В) + (с (X) ± б (X)). Според свойствата b.m.f. а (X) ± б (X) ─ b.m.f. така (Y (х) ± Z (X)) = A ± B, т.е. (Y (Х) ± Z (X)) = Y (Х) ± Z (х).

2) Y (Х) х Z (X) = (А + В + В (х) = А х В + а (х) х B + A х б (X) + A (х) х б (X). Според свойствата b.m.f. функция (х) × б + ​​а × б (х) + а (х) × б (х) ─ b.m.f. като х → ,

следователно (Y (X) × Z (X)) = AB = Y (Х) х Z (х).

3) Нека B ≠ 0. Помислете за разликата

- ,

Според свойствата b.m.f. функция ─ b.m.f. като х → ,

Да разгледаме функцията = ,

Очевидно е, че = ,

Това означава, че д, равно, например, там е разположен около такава, че │ - │ < Т.е.

- < - < , < < ,

Но това означава, че функцията ограничен. След това, от свойствата b.m.f. работа

─ b.m.f. като х → ,

че 1 (х) Да, т.е. 1 = а (х). след това 1 + A (X). Според свойствата b.m.f. = = ,

Следствие 1. Можете да направите постоянен фактор за знак гниене, т.е. ако

а = конст, то (С х у (х)) = C Y (X).

Следствие 2. Ако (Х) = A, след това за всяко естествено число m

(х)) m = ( у (х)) m = A м.

Теорема 3. Да предположим, че трите функции U = U (X), V = V (х), Y = Y (X), определена в някои интервал, съдържащ точка , Ако по някаква х в този интервал неравенството

ф (х) у £ (х) £ о (х)

и функция ф = ф (х), V = V (х) има същите граници като х → , Тогава функция ш на = у (х) има същата граница като х → ,

Доказателство. нека U (X) = V (X) = А.



защото U (X) £ Y (Х) £ V (X), след това и (Х) -А £ Y (Х) -А £ V (Х) -А.

Чрез определянето на границата "д> 0 съществуват г 1> 0 и г 2> 0 такова, че неравенството 0 <│h - │ <г 1 трябва │u (х) -A│ <д, и неравенствата 0 <│h - │ <г 2 трябва │v (х) -A│ <д. Нека г = мин {г 1, г 2}. След това в продължение на х задоволяване 0 <│h - │ <г бъде -e <ф (х) -А <д и -e <V (х) -А <д. Ето защо, неравенствата ф (х) -А £ у (х) -А £ о (х) -А трябва -Е <у (х) -А <д, т.е. │u (х) -A│ <д. Това означава, че (Х) = А.

Теорема 4. Нека функция Y = F (X) се определя по някакъв интервал, съдържащ точка , Ако х → функция у = е (х) има положителен (отрицателен) лимит, тогава има разминаване около една точка Че функцията е положителен (отрицателен) за всички х в този интервал.

Доказателство. нека F (X) = А. Това означава, че "е> 0 има редица г> 0 такова, че за всички X отговаря 0 <│h- │ <г, се извършва

Неравенството │f (х) -A│ <д, т.е. -Е <F (X) -А <д.

Ако A> 0, след като се е = И неравенство A- д <е (х) получаваме е (х)> A-E = = A- А = А> 0; е (х)> 0 за -d <х- <D, т.е. при -d <х <г + ,

Ако A <0, след като се е = - И, от неравенството е (х) <A + д получаваме е (х) <A + E = = A- А = A <0, т.е. е (х) <0 за -d <х <г + ,

Тази теорема се нарича теорема за спасяването Сигнум има лимит.

Теорема 5. Ако U (X), V функция (X ) са определени в някои интервал, съдържащ точка И за всички х в този интервал, с изключение на х = На неравенството ф (х) <V (х), освен това на ф функция (х) и V (х) има ограничения като х → , след това ф (х) £ V (X).

Доказателство. нека U (X) = А, V (х) = B. Да предположим, че А> Б. Според teoreme2 (U (X) -v (X)) = A-B> 0. От Теорема 4, съществува празнина около една точка такова, че за всички х в този интервал U (X) -v (X)> 0, т.е. ф (х)> о (х), което противоречи на хипотезата.

Вследствие на това предположение е невярно и A £ B, т.е. ф (х) £ V (X).

<== Предишна лекция | На следващата лекция ==>
| Основни теореми за границите на функции

; Дата: 01.07.2014; ; Прегледи: 561; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



zdes-stroika.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 11.102.9.26
Page генерирана за: 0.051 сек.