Studopediya

КАТЕГОРИЯ:


Астрономия- (809) Биология- (7483) Биотехнологии- (1457) Военное дело- (14632) Высокие технологии- (1363) География- (913) Геология- (1438) Государство- (451) Демография- (1065) Дом- (47672) Журналистика и СМИ- (912) Изобретательство- (14524) Иностранные языки- (4268) Информатика- (17799) Искусство- (1338) История- (13644) Компьютеры- (11121) Косметика- (55) Кулинария- (373) Культура- (8427) Лингвистика- (374) Литература- (1642) Маркетинг- (23702) Математика- (16968) Машиностроение- (1700) Медицина- (12668) Менеджмент- (24684) Механика- (15423) Науковедение- (506) Образование- (11852) Охрана труда- (3308) Педагогика- (5571) Полиграфия- (1312) Политика- (7869) Право- (5454) Приборостроение- (1369) Программирование- (2801) Производство- (97182) Промышленность- (8706) Психология- (18388) Религия- (3217) Связь- (10668) Сельское хозяйство- (299) Социология- (6455) Спорт- (42831) Строительство- (4793) Торговля- (5050) Транспорт- (2929) Туризм- (1568) Физика- (3942) Философия- (17015) Финансы- (26596) Химия- (22929) Экология- (12095) Экономика- (9961) Электроника- (8441) Электротехника- (4623) Энергетика- (12629) Юриспруденция- (1492) Ядерная техника- (1748) Arhitektura- (3434) Astronomiya- (809) Biologiya- (7483) Biotehnologii- (1457) Военни бизнесмен (14632) Висока technologies- (1363) Geografiya- (913) Geologiya- (1438) на държавата (451) Demografiya- ( 1065) Къща- (47672) журналистика и смирен (912) Izobretatelstvo- (14524) външен >(4268) Informatika- (17799) Iskusstvo- (1338) историята е (13644) Компютри- (11,121) Kosmetika- (55) Kulinariya- (373) културата е (8427) Lingvistika- (374) Literatura- (1642) маркетинг-(23702) математиците на (16968) Механична инженерно (1700) медицина-(12668) Management- (24684) Mehanika- (15423) Naukovedenie- (506) образователна (11852) truda- сигурност (3308) Pedagogika- (5571) Poligrafiya- (1312) Politika- (7869) Лево- (5454) Priborostroenie- (1369) Programmirovanie- (2801) производствено (97 182 ) индустрия- (8706) Psihologiya- (18388) Religiya- (3217) Svyaz (10668) Agriculture- (299) Sotsiologiya- (6455) на (42831) спортист строително (4793) Torgovlya- (5050) транспорт ( 2929) Turizm- (1568) физик (3942) Filosofiya- (17015) Finansy- (26596) химия (22929) Ekologiya- (12095) Ekonomika- (9961) Electronics- (8441) Elektrotehnika- (4623) Мощност инженерно ( 12629) Yurisprudentsiya- (1492) ядрена technics- (1748)

Екстремум функции. А е необходимо и достатъчно условие за екстремум




Да разгледаме функцията Y = F (х), дефинирани в интервала ( ). Нека х 0 I ( ), Δ ─ положително число. Ние наричаме δ- квартал на х 0 интервала (х 0 - δ; х 0 + δ) и го означаваме с G (х 0; δ).

Определение. Ако можем да намерим δ-квартал на х 0, принадлежащи към ( ), Че за всички Хио (х 0; δ), х ≠ х 0, неравенството

F (X 0)> F (X),

0, тогава Y = F (X 0) е максимума на функция Y = F (X) и е обозначен с макс е (х) (фигура 17.1).

Ако всички Хио (х 0; δ), х ≠ х 0, неравенството

F (X 0) <F (X),

0, тогава Y = F (X 0) е минимум на функцията Y = F (X) и е обозначен с мин F (X) (ris.17.2.).

Имайте предвид, че максималните и минималните функции са местни в природата (това е най-голямата и най-малката стойност на функцията в квартала на съответната точка достатъчно малък); някои дъна, някои функции може да са по-големи от максималната ия същата функция (ris.17.3).

Определение. Максимална и минимална функция, наречена връх. Аргументът, при която екстремум се нарича точка на екстремни.

Теорема (необходимо условие за екстремум).

Точката на екстремум на диференцируема функция на негово производно е нула.

Доказателство. Нека х 0 ─ екстремалната точка на диференцируема функция е (х). За определеност, ние предполагаме, че х 0 ─ максималната точка. След това за достатъчно малък ( <Δ, δ> 0) така , сега

<0 за > 0;

> 0 за <0;

отгдето

≤ 0,

≥ 0.

Тъй като функцията е диференцируема, тогава

0 ≤ = F '(X 0) = ≤ 0,

което означава, F '(х 0) = 0. По същия начин, ние считаме случая, когато х е 0 ─ минималната точка на функцията.

Забележка 1. Ако е "(х 0) = 0, тогава той не може да бъде, че х 0 ─ крайна точка. Например, за функция е (х) = х 3, F '(х) = 3x 2, F' (0) = 0, а х 0 = 0 не е точка екстремум, като е (х)> 0 за х> 0 и е (х) <0 за х <0 (ris.17.4).

Забележка 2. Функцията може да се постигне екстремум в точката, в която съществува производната. Например, Y = функцията То не трябва производно в точката х 0 = -1, но тя достига своя максимум (ris.17.5).

У функция = Те имат ограничен производно в точка х 0 = 0, тъй като

Y = при X = X 0 = 0 до безкрайност, но в този момент функцията има минимален (ris.17.6).

Определение. Точката, в която производната е нула, наречена стационарна. Стационарни точки и точката, в която функцията има безкраен дериват или дериват, който не съществува, наречени критични.



Следователно, точките на крайната да бъдат намерени между критичните точки.

Определение. Тя се казва, че функцията на ш в = е (х) промени подписват при преминаване през точката х = 0, ако е (х 1) е (х 2) <0 за всички х 1, х 2 в някои квартал на тази точка, която отговаря на неравенствата х 102; промените в знак плюс до минус, ако е (х 1)> 0, е (х 2) <0; промените в знак минус до плюс, ако е (х 1) <0, е (х 2)> 0.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).

Нека функцията Y = F (х) е диференцируема в някои квартал на х 0. Ако в точката х = 0 производната на е (х) е равна на нула и промени подписват при преминаване през точката х 0, тогава точката х 0 е точка на екстремум, и: 1) х 0 ─ максимален момент, ако промените в знак плюс до минус ; 2) х 0 ─ минимум точка, ако промените в знак минус до плюс.

Доказателство. Нека точката х 0 производната е нула и промени подписват от минус до плюс, т.е. F '(х 0) = 0, F' (х) <0 за х 0 -δ <х <х 0, F '(х)> 0 за х 0 <х <х 0 + δ (δ> 0). Тогава функция F (X) за теоремата на достатъчно условие за увеличаване и намаляване намаляване функция (X 0 -δ х 0) и увеличаване на интервала (X 0, X 0 + δ), т.е. е (х 0) <е (х) за всички Хио (х 0, δ) = = (х 0 -δ; х 0 + δ), х х ≠ 0. Ето защо, х 0 ─ минимум точка.

По същия начин, за разглеждане на делото, когато деривативни промени подписват от плюс до минус.

Достатъчно условие за екстремум може да се изрази и чрез втората производна.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).

Ако в точката х = 0, първото производно е диференцируема в някои съседство на X 0 функция Y = F (X) е нула и втората производна не е нула, тогава X 0 е точка на екстремум, с: 1) х 0 ─ минимална точка, ако е '' (х 0)> 0; 2) х 0 ─ максималната точка, ако е '' (х 0) <0.

Пример. Намери екстремуми на F на функция (х) = ,

Solution. Тъй F '(х) = , Това е от решаващо значение само стационарна точка , , ,

Изследвайте знака на втория F дериват '' (х) = в тези пунктове:

е '' ( ) = 2 х 12 -20> 0, F '' (0) = -20 <0, F ' "( ) = 5 × 12 -20> 0.

Следователно, , ─ минимум точка, ─ максимална точка,

Освен мин е (х) = F ( ) = F ( ) = -10, Макс е (х) = F (0) = 15.





; Дата: 01.07.2014; ; Прегледи: 1038; Нарушаването на авторските права? ;


Ние ценим Вашето мнение! Беше ли полезна публикуван материал? Да | не



ТЪРСЕНЕ:


Вижте също:



zdes-stroika.ru - Studopediya (2013 - 2017) на година. Тя не е автор на материали, и дава на студентите с безплатно образование и използва! Най-новото допълнение , Al IP: 11.102.9.22
Page генерирана за: 0.051 сек.